学校の勉強でも会社の仕事でも、
『わからない事はそのままにしないで、質問しなさい』
と言われます。
しかし、指導を受ける側の人間が失敗した時、
なぜ失敗したのかと聞くと、
『わからなかったから』
と言う答えが返ってくる場合があります。
そう言う時に、指導する側が
『わからないならば、なぜ質問しないんですか？』
と、相手を問い詰めても、はっきり言って、無駄です。
なぜかと言うと、指導を受ける側にとっての
『わからない』
とは、
『気づかない』
ことだからです。
つまり、気づかずに、そのままやり過ごしてしまうのです。
だからこそ、質問が出来ないのです。
指導する側は、この点を理解していないと、誰を指導しても、上手くいくことはないでしょう。
私は教育経験が長いので、この種のことは、よく知っています。
文責：Dr. Kazuyoshi Katogi
今回の数学エッセーでは, 定礎な関係のノイマン級数は再び定礎であるという定理を, ZF 内で証明します.
E を 集合, R を E 上の定礎な二項関係, S を R から定まるノイマン級数とする. つまり, S は E 上の 2項関係で, xSy は, E のある有限列 x_0, … , x_n が存在し, 0 ≦ i < n に対して x_i R x_{i+1} かつ
x_0 = x かつ x_n = y なることとする. ここに, (x, y) ∈ R , (x, y) ∈ S を, それぞれ xRy, xSy と記述した.
定理: この時, S は定礎となる.
証明. 仮に, S が定礎でないと仮定して, 矛盾を導く. E の空でないある部分集合 A が, 任意の x ∈ A に対して y ∈ A が存在して, ySx となっていると仮定する.
B = {x ∈ E | (∃a ∈ A)(aSx)}
と置く. 仮定より, A ⊆ B である.
そこで, E は R に関して定礎だから, B は R-極小元 a を持つ. B の定義より, b ∈ A が存在し, bSa となる.
Case 1. bRa ならば, b ∈ A ⊆ B だから, a が B の R-極小元であることに反する.
Case 2. E の元の有限列 x_1, ・・・, x_n (n>0) が存在して
bRx_1 かつ x_1Rx_2 かつ… かつ x_{n-1}Rx_n かつ x_n Ra
となる時. この時, bSx_n で, x_n R a だから, x_n ∈ B かつ x_n R a となり, a が B の R-極小元であることに反する.
証明終わり.
この定理の通常の証明は, E に Sに関する無限下降列が存在すると仮定して矛盾を導くというやり方です. その時に, 通常, 従属選択公理を使います. 今回は, 従属選択公理を避ける形で, 証明してみました.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)
仕事に役立てることを想定して、
私は現在、幾何公差の勉強もしています。
アマゾンで一冊本を購入して読んでいます。
その中で、幾何公差の許容域と言うのがあって、
二つの方式で表現できるとのこと。
つまり、直交座標系と極座標系。
懐かしいですね、物理学でも、もちろん数学でも、
この二つの座標系はよく使います。
3次元の場合も、直交座標系と極座標系はあります。
数学では、これを一般化して、n次元の直交座標系を定式化します。
きちんと載っている本はと言うと、
東大出版会から出ている解析入門でしょうか。
物理学で使うラプラシアンの計算でも、
極座標は良い計算練習となります。
文責: Dr. 加藤木 一好
