kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

リフト定理と複素対数

今回は、リフト定理と複素対数について、論じます。

 

記号についての約束は、

 

C を複素数体、C-{0} を C から 0 を取り除いた位相空間

 

Z を整数全体、R を実数体とします。

 

 

 

 

 

ホモトピー論の基本で、次のリフト定理があります:

 

リフト定理

 

p: E → B を被覆空間, e_0 ∈ E, b_0 = p(e_0)∈B をそれぞれ

 

E, B の基点, X を弧状連結かつ局所弧状連結な位相空間,

 

f : X → B を連続写像, x_0∈X, f(x_0) = b_0 とする.

 

このとき, 連続写像 g : X → E が一意に存在して、g(x_0) = e_0,

 

かつ p○g = f なるための必要十分条件は,

 

f_* : π_1 (X, x_0) → π_1 (B, b_0) の像が

 

p_* : π_1 (E, e_0) → π_1 (B, b_0) の像に含まれることである。

 

ここに、 p○g は写像の合成, f_*, p_* はそれぞれ、

 

写像 f ,  p から誘導される、基本群の準同型である。

 

 

 

 

 

この定理は well-known なので、証明は省きます。

 

 

 

 

 

さて、このリフト定理の応用として、次の定理が証明されます:

 

(X, x_0) は基点付き位相空間で、X は局所弧状連結、かつ、

 

(X, x_0) は連結かつ単連結とする。

 

今, z_0 ∈ C, w_0 = exp(z_0),

 

f : (X, x_0) → (C-{0}, w_0) を連続写像とすると、

 

連続写像 g : (X, x_0) → (C, z_0) が一意に存在し、

 

f(x) = exp (g(x))

 

となる。

 

証明: p : C → C-{0}, (p(z) = exp (z), ∀z∈C) 

 

が被覆空間になることを示せばよい。

 

任意の y∈ C-{0} に対し、θ≠ arg (y) なる θを取り、

 

U = { w ∈ C-{0} | arg(w) ≠ θ},

 

F(n, θ) = { z∈C | Im (z)∈ ] θ+2nπ, θ+ 2(n+1)π[ }     (n∈Z)

 

とおくと、U は C-{0} における y の開近傍で、

 

p^{-1} (U) = ∪_{n∈Z} F(n, θ)         (disjoint union)

 

となり、各 n∈Z に対して、p の制限

 

p_n : F(n, θ) → U

 

は、複素解析多様体としての同型となる。

 

よって、p は被覆空間である。

 

証明終わり。

 

 

 

 

系 上記定理で、さらに、X が 実C^r 級多様体 (1≦r≦ω)

 

(resp: 複素解析多様体)で、

 

f が実 C^r 級写像 (resp: 複素解析写像) のとき、

 

g は、実 C^r 級写像 (resp: 複素解析写像)

 

となる。

 

このことは、p : C → C-{0} が、複素解析多様体の間の

 

局所同型であることからもわかる。

 

また、この時、点 x∈X における g の接線型写像 T_x(g)

 

は、次のように計算される:

 

f(x) = exp (g(x)) = h○g(x)        (h(y) = exp (y), h○g は写像の合成.)

 

より、chain rule より、

 

T_x (f) = T_{g(x)} (h) ・T_x(g)

 

で、T_{g(x)} (h) は exp(y) の y = g(x) における微分係数だから、

 

 T_{g(x)} (h) = exp(g(x)) = f(x).

 

よって、

 

T_x (f) = f (x)・T_x (g).

 

よって、

 

T_x (g) = (f (x))^{-1}・T_x (f) : T_x (X) → C.

 

 

 

 

 

この g が、Log f と記述されるものであり、

 

よく、Log f(x) = (Log f)(x) (x∈X) 

 

と書かれる。

 

つまり、f(x) = exp (Log f(x))

 

と書けるので、この記法は、自然と、

 

複素対数関数の一般化になっている。

 

又、系で示した Log f (x) の微分係数についても、

 

( Log f (x) ) ' = f ' (x) / f(x)

 

という、良く知られた公式の自然な一般化になっている。

 

 

 

 

 

 

余談だが、この Log f の構成は、確率論において、

 

無限分解可能な分布について定式化する際に用いられる。

 

たとえば、西尾真喜子「確率論」実況出版, pp155-156, 命題 1

 

にその記述があり、X = R の場合に初等的な証明が載っている。

 

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi