Yahoo! 知恵袋での, 数学の質問に対する解答ミスの修正.

今回、Yahoo 知恵袋で、巡回群の単数群についての質問で、

私が間違った回答をしてしまったので、ここに訂正します。

まず、以下の質問

Z/42Z の単数群は、Z/41Z に同型と言ってますが、違います。

正しくは、

Z/42Z の単数群は、2つの加法群 Z/2Z と Z/6Z の直和に同型です。

次に、以下の質問

Z/54Z の単数群は、Z/53Z に同型と言っていますが、違います。

正しくは、

Z/54Z の単数群は、加法群 Z/18Z に同型です。

これらの間違った回答は、すでに、なぜかベストアンサーに選ばれてしまったので、

もう、こちらからは、削除できません。

この回答をご覧になった方は、こんなアホな間違いをしないよう、

気を付けてください。

一般に、整数 m に対して、Z/(mZ) の単数群を G(m) とおくと、

奇素数 p と整数 n>0 に対し、

G(p^n) は、加法群 Z/((p^{n-1})(p-1)Z) に同型となります。

G(2) は {0} に同型、G(4) は、加法群 Z/2Z に同型、

G(2^n) は、2つの加法群 Z/((2^{n-2})Z) と Z/2Z の直和に同型です。

そして、a と b が互いに素な整数の場合、

G(ab) は群の直積 G(a)×G(b) に同型になります。

以上で、任意の G(m) が計算できます。

参考文献

ブルバキ数学原論代数 5巻, p.66 定理3.

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi

kazz の数学旅行記