Yahoo 知恵袋で、下記のような質問を見かけました:
I を R の区間, f : I → R を微分可能関数, a∈I とするとき、
lim_{x→a, x≠a} lim_{h→0, h≠0}(f(x+h)-f(x))/h
= lim_{h→0, h≠0} lim_{x→a, x≠a} (f(x+h)-f(x))/h
i.e., lim_{x→a, x≠a}Df(x) = Df(a)
が常に成り立つか?
ここに、Df(x) は x における f の微分係数です。
この答えは、以下のように、決定的なものになります。
極限値 lim_{x→a, x≠a}Df(x) が存在する場合は、
この極限は Df(a) に等しくなります。
つまり、
lim_{x→a, x≠a}Df(x) = Df(a)
となります。
もちろん、極限値 lim_{x→a, x≠a}Df(x) が存在しない場合は、
等式
lim_{x→a, x≠a}Df(x) = Df(a)
には意味がありません。
第1種の不連続点が存在しないことから、
直ちに従います。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi