タイトル通りの問題を論じます。
これは、某質問サイトで見かけた、数学の問題です。
結論を先に言います。
関数 f : R → R が連続な周期関数の時、
f は必ずしもリプシュッツ連続とはなりません。
反例
f(x) = Arcsin x (-1<x≦1)
f(x) = Arcsin (2-x) (1<x≦3)
を定義し、f を周期性により R 上に延長する。
Df(x) = 1/√(1-x^2), (-1<x<1)
だから、Df(x) → + ∞ (x→1-0)
よって、x, y (x<y<1)が 1 に十分近い時、
| f(x) - f(y) | = Df(c)|x-y|
なる c (x<c<y) が存在し、
x, y → 1-0
とすると、Df(c) → + ∞ となってしまうから、
「ある定数 k >0 が存在し、任意の x, y ∈ Rに対し、
| f(x) - f(y) | ≦ k |x - y|
が成り立つ」
と言うリプシュッツの条件は満たされない。
ちなみに、もとのオリジナルの問題は、
「区分的に連続な周期 2π の周期関数は、リプシュッツ連続になる
ことを証明してください。」
と言うことでしたが、これは明白に出題ミスです。
リプシュッツ連続な関数は連続ですが、
区分的に連続なだけの関数は、一般には不連続点を許容するからです。
補足として、f : R→R がC^1 級の周期函数であれば、f はリプシュッツ連続となります。
この証明は簡単で、Df(x) (x ∈ R) の上限 M ≧ 0 は 有限値で、
有限増分の公式より、任意の x, y ∈ R に対し、
|f(x) - f(y)| ≦ M |x - y|
となります。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
