私たちは高校数学で, sin(x), cos(x) の微分可能性を習います.
しかし, 高校教科書に実際に書いてある証明は,
論理的には厳密ではありません.
多くの場合,
lim_{x→0, x≠0}(sin(x))/x = 1
の証明がネックとなりますね.
問題なのは, 高校教科書では sin, cos の微分に扇形の面積の公式を用い,
扇形や円の面積の公式の証明に又, sin, cos の微分を用いているので,
循環論法になってしまっているということです.
更に言うならば, 小学校で習う円の面積の公式の証明
(扇型に細かく細分して並べ替えて, 極限を取って, 長方形に近づけるやつです.)
を厳密に書き直すと, 論理的には
lim _{n → ∞} 2n sin (π/2n) = πと言う公式が必要となるので,
二重の意味での循環論法となってしまっています.
大学数学では, この困難を回避する形で, 解析学の教科書で,
sin(x), cos(x) の定義, πの定義が紹介されますが,
教科書によっては, 解析的すぎる定義を採用しているきらいもあり,
わかりづらいものもあります.
そこで今回の数学知恵ノートでは,
Bourbaki の実1変数関数の教科書に従い,
(sin (x))/x の極限や冪級数を経由しない,
sin(x), cos(x) の微分可能性の厳密な証明について紹介します.
使用する予備知識は, 以下の条件です:
[1] sin(x), cos(x) は, 実変数連続実数値関数である.
[2] sin(x) は, x = 0 の近傍で増加である.
[3] sin, cos の加法定理
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y),
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
加法定理については, 高校数学で証明がありますね.
[4] sin^2(x) + cos^2(x) = 1
[5] 単位円周の長さ L を 2π と置くと,
写像 f ; [0, 2π] → C = R×R,
f(x) = cos(x) + i sin (x),
は, 連続で長さ有限な単純閉曲線であり,
f の長さ M は L = 2π に等しい.
この条件は, 人工的に思えるかもしれないが,
高校で sin, cos に伴い, 弧度法を習ったことある人にとっては,
自然なものであろう.
ここに, f の長さ M は, 以下のように定義される:
A = {t_0, t_2, ... , t_n}
を [0, 2π] の点の真に増加な有限列で,
Σ_A = Σ_{k = 1}^{n} |f(t_k) - f(t_{k-1})|
を考えるとき, A が [0, 2π] の真に増加な有限列全体
S を動くときの Σ_A の上限が f の長さ M である.
ここに, |f(t_k) - f(t_{k-1})| は複素数としての絶対値.
もし, f が最初から C^1 級であることがわかっているならば,
曲線の長さの一般論より,
M = ∫_[0, 2π]|Df(t)|dt
となる.
ここに, Df(t) は t における f の微分係数であり,
[6] リーマン積分に関する, 微分積分学の基本定理.
すなわち, g が [a, b] 上で連続実数値 (または複素数値) 関数ならば,
[a, b] で定義された g の原始関数 G が存在し,
∫_[a, b] g(t)dt = G(b) - G(a)
となる.
[7] 群と位相, 位相群の連続表現の定義に関する知識.
さて, 条件 [1], [3], [4] より, 関数 g: R → C^*,
g(t) = cos(t) + i sin(t)
は, 加法位相群 R から 乗法位相群 C^* = C - {0}
への連続表現となる.
尚, Bourbaki では, 商位相群 R/Z と単位円周 S^1 が
位相群として同型なることが, sin, cos を使わずに示されており
(このことの証明が一番難しい),
標準射影
Φ:R → R/Z
と
位相群としての同型
ψ: R/Z → S^1
で ψ([1/4]) = i
なるものの合成
e(x) = ψΦ(x) = c(x) + i s(x)
を考え, 単位円周の長さ L を 2π と置くとき,
sin(x) = s(x/(2π))
cos(x) = c(x/(2π))
という定義を採用している.
単位円周の長さについては,
以下に述べる定理と同様なやり方で,
e(x) が R 上で微分可能なことが, まず最初に証明され,
実数 a>0 によって De(x) = i a e(x)
と表されることが証明される.
この a が単位円周の長さに等しい.
(L = ∫_[0, 1]|De(x)|dx
= a ∫_[0, 1] |e(x)|dx = a∫_[0, 1] 1dx = a だから.)
そこで, π = a/2 と定義されるのである.
ここに, [1/4] は, 1/4 を含む,
R/Z における類.
さて、次の定理が本質的である:
定理 (Bourbaki, [1])
g は R 上微分可能であり, 任意の x ∈ R に対し,
Dg(x) = g(x)×Dg(0)
となる.
よって, g は R 上 C^1 級である.
証明
h_a (x) = ∫_[0, a] g(x+t)dt
を考える. ただし, a>0.
g は群の表現だから,
g(x+t) = g(x)g(t).
よって,
h_a (x) = ∫_[0, a] g(x)g(t)dt = g(x)∫_[0, a] g(t)dt
(x∈R, a>0)
となる.
今, g(0) = 1 で, g は仮定より R 上連続であるから,
a>0 が十分小さいとき,
|g(t) - 1| < 1/2, for t∈[0, a]
となる.
よって, 評価式
| a^{-1}∫_[0, a] g(t) dt - 1 | ≦ | a^{-1}∫_[0, a]|g(t) - 1| dt |
≦ 1/2
が成り立つので,
a^{-1}∫_[0, a] g(t) dt≠ 0
となり, 従って,
b := ∫_[0, a] g(t) dt ≠ 0
となる.
よって,
h_a (x) = b g(x)
より, h_a(x) が x について微分可能であることを示せば良い.
変数変換 u = x + t より,
h_a (x) = ∫_[x, x+a] g(u)du
となるので, 微分積分学の基本定理により,
h_a (x) は x について微分可能で,
Dh_a (x) = g(x+a) - g(x)
= g(x)(g(a) - 1)
となる.
よって,
g は R 上微分可能であり,
Dg(x) = b^{-1} Dh_a(x) = ( ( g(a) - 1 ) / b ) g(x)
となる.
ここで, x = 0 とすれば,
Dg(0) = ( ( g(a) - 1 ) / b ) g(0) = ( g(a) - 1 ) / b
を得るので, 改めて, 公式
Dg(x) = g(x) Dg(0)
を得る.
証明終わり.
よって, sin(x), cos(x) は R 上 C^1 級であり,
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
より,
sin(x)Dsin(x) + cos(x)Dcos(x) = 0
となるので, R^2 のベクトル
(cos(x), sin(x)) と (Dcos(x), Dsin(x))
は直交する.
よって, ある実数 a が存在し,
Dg(x) = i a g(x), 即ち
D cos (x) + i D sin (x) = -a sin(x) + a i cos (x)
となる.
今, g(0) = cos(0) + i sin(0) = 1
だから,
sin(0) = 0, cos(0) = 1
であり,
D sin (x) = a cos (x)
と 条件 [2] より, a > 0 となる.
最後に, a=1 を示そう.
条件 [5] より,
L = 2π = ∫_[0, 2π] ( (D cos (x))^2 + (D sin (x))^2 )^{1/2} dx
= a ∫_[0, 2π] (cos^2(x) + sin^2(x))^{1/2} dx
= a ∫_[0, 2π] 1 dx
= 2πa
となるので,
a = 1 となる.
よって, sin, cos は R 上 C^1 級で,
任意の x ∈ R に対し,
D cos(x) = -sin(x), D sin(x) = cos(x)
となることがわかった.
参考文献
論証の主な部分は, そのまま,
[1] Bourbaki 数学原論, 実1変数関数.
からの引用である.
C^1 級曲線の長さに関する理論は,
[2] L. Schwartz, 解析学, vol.4
を参考にした.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
