ある人が、このような質問をされていました。
「基礎論以外の数学で、濃度はどのように使われていますか？
病的な反例への使用を除いて。」
この質問には、僕は答えを持っています。
僕の修士論文の、本文 p.25 （pdf の通し番号で、26 ページ目）
をご覧ください
濃度の概念のホモトピー論への適用です。
B の開被覆 U と U に乗った G に値をとる
cocycle g の組 (U, g) の全体を A とします。
明らかに、A は集合です。
ξ∈A に対し、ξから標準的に構成された
底 B の principal G-bundle を g(ξ) とします。
一方, 底 B の principal G-bundle の全体を P とします。
P は proper class となります。
ここで、各 λ∈P に A の元 f(λ) を対応させ,
g(f(λ)) が λ と G-B 同型なるようにできます。
(選択公理により, A を整列しておく)
すると、 任意の λ, μ∈P に対し、
f(λ) = f(μ)
ならば、
λとμはG-B-同型となります。
したがって、底 B の principal G-bundle の同型類の全体 Q は、
その濃度が card(A) で押さえられているとみなすことができて、
Q を集合とみなすことができます。
そこでもっと精密に、B_G を G の分類空間とすると、
自然な同一視 Q = [B, G_G]（ホモトピー集合）
ができる、と言うのが、修士論文のメインテーマでした。
以上が、濃度の概念の、ホモトピー論における使用例です。
余談ですが、過去、修士論文発表会で、
Q を集合とみなすことができると言う事実は、
自明ではないのではないか、と、
T 先生からのご質問があったのです。
その答えとして、今ここに記述した内容（修士論文の p.25）
を、T 先生にご紹介し、即座に納得していただきました。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
