ある掲示板で、このような問題を見つけました。
級数 Σa_n が絶対収束するならば、
級数 Σ(a_n)^2 も絶対収束することを証明せよ。
これは簡単です。
Σ a_n が絶対収束することにより、
ある番号 から先、|a_n| < 1
よって、ある番号から先、
|(a_n)^2| < |a_n|
よって、
が存在するとみなすことができるので、
Σ|(a_n)^2| は収束する。
証明終わり。
次の問題は、面白いです。
級数 Σa_n が収束し、Σ (a_n)^2 は収束しない例を挙げよ。
これは簡単で、a_n = (-1)^n / √n とおけば、
Σ a_n は交代級数だから収束し、
Σ (a_n)^2 = Σ 1/n はよく知られた調和級数で、発散します。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
