位相空間 X の部分集合 M, N に対し,
M^f と N^f をそれぞれ, M, N の境界とする時,
M ⊆ N ⇒ M^f ⊆ N^f
が成り立たないのは不思議だ, という,
素朴な疑問を聞いたことがあります.
学部生の方でしょうか, 位相について, あまりにも難しく考えすぎて,
素朴な例をイメージできないのでしょう.
論理的に説明すると,
x ∈ M^f というのは,
X における x の任意の近傍 U に対し,
U∩M と U∩(X - M)
が空でないことと同値です.
したがって, M ⊆ N なる包含関係は, 一般には,
M^f ⊆ N^f なる包含関係を導きません.
実際に, 反例をあげて見ましょう.
X = R, M = [-1, 1], N = [-2, 2]
とします. X には数直線 R の自然な位相を入れます.
すると,
M^f = {-1, +1}, N^f = {-2, +2}
で, M^f ⊆ N^f ではありません.
この場合はもっと強く,
M^f ∩ N^f は空集合となります.
そういう意味で, 位相空間の部分空間に,
その境界を対応させる写像は, 一般には, 包含関係を保存しませんし,
包含関係を必ず逆転する, ということもありません.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
