今日は, 某掲示板で見た, シンプルな問題です.
f:R → R を関数で, 任意の x, y ∈ R に対し,
f(x) - f(y) ≦ (x-y)^2
が成り立っているとする.
このとき, f は定値関数であることを示せ.
解法
x と y の役割を入れ替えれば,
任意の x, y ∈ R に対し,
f(y) - f(x) ≦ (x-y)^2
も成り立つので, 結局, 任意の x, y ∈ R に対し,
|f(y) - f(x)| ≦ |x-y|^2
が成り立つ.
x ≠ y として, 両辺を |x - y| で割ると,
|(f(y) - f(x))/(y-x)| ≦ |x-y|
となり, y → x として,
lim _{y → x} (f(y) - f(x))/(x - y) = 0
がわかる.
すなわち, f は R 上至る所微分可能で,
その微分係数 Df(x) は, 任意の x ∈ R に対し, 0 である.
従って, f は定値関数である.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
