kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

正方行列の空間における可逆行列の全体の稠密性.

今回の数学エッセーでは, 某掲示板で見た, 次の定理を証明します:

 

 

 

 

定理: K を離散でない位相体, n を自然数とする.

 

M_n (K) を K 係数の n 次正方行列の全体に,

 

K^{n^2} 次元左ベクトル空間としての標準的な K 位相線型空間としての位相を与えた位相空間,

 

G_n (K) を K 係数の n 次可逆行列の全体とすると, G_n (K) は M_n (K) で稠密である.

 

 

 

 

証明. 

 

E = K^n は右 K 線型空間とみなす.

 

M_n (K) の任意の行列 A = [a_1, … a_n] を取る. 

 

ここに, a_i ∈ E は A の第 i 列である ( 1 ≦ i ≦ n ).

 

一般性を失わずに,

 

1≦ p < n なる, ある自然数 p に対し, (a_1, … , a_p) は K 上線型独立で,

 

A の階数は p となっているとして良い. 

 

F を (a_1, … , a_p) から張られる E の K 線型部分空間,

 

F’ を E における F の K 線型補空間,

 

(b_1, … b_{n-p}) を F’ の K 上基底とする.

 

今, t ∈ K - {0} に対して,

 

A(t) = [a_1, … , a_p , a_{p+1} + ( b_{1}・t ) , … , a_n + ( b_{n-p}・t ) ]

 

とおけば, 明らかに, A(t) は階数 n だから, A(t) ∈ G_n (K) で, 

 

t → 0  (t ≠ 0) in  K

 

の時, 

 

A(t) → A  in  M_n (K)

 

となる. 

 

q.e.d.

 

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi