kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

Young の定理 〜フレッシェ微分バージョン〜

休日の時間を利用して, 時々, 数学ファイルの更新を行なっております.

 

 

微分多様体の基礎

 

 

今回は, 先週の続きです. 上記ファイルの, section 19.5 で定式化されている, Young の定理です:

 

定理 19.5.6

 

K を R 又は C, E_1, E_2 を K ノルム空間, F を分離多ノルム空間, U を E_1 × E_2 における原点の開近傍, f : U → F を写像で, f は E_1 方向, E_2 方向に, それぞれ偏微分可能で, 次の二つの写像: 

 

D_1 f  : U → L (E_1; F), 

D_2 f  : U → L (E_2; F)

 

は, 点 (0, 0) において微分可能とする.

 

この時, 任意の x_1 ∈ E_1, x_2 ∈ E_2 に対し, 

D_1 D_2 f(0, 0)(x_1)(x_2) = D_2 D_1 f(0, 0)(x_2)(x_1)

 

が成り立つ.

 

 

前回の記事で紹介した Schwartz の定理と合わせ, この両方の定理は, 私の pdf では, フレッシェ微分の範囲で定式化されています.

 

これらの定理は, 元々は, 実変数実数値関数の範囲で定式化されておりました. (c.f. 『解析概論』高木貞治)

 

証明のためには, やはり, f の二階階差が重要な役割を演じます.

 

ただ, Young の定理の フレッシェ微分バージョンでは, 有限増分の定理を使わず, 平均値の定理によって, まずは F が R の場合の証明を行い, ついで, F が一般の場合について, 半ノルムの精密な性質を用いて, 証明します.

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi