今回の数学エッセーでは, 定礎な関係のノイマン級数は再び定礎であるという定理を, ZF 内で証明します.
E を 集合, R を E 上の定礎な二項関係, S を R から定まるノイマン級数とする. つまり, S は E 上の 2項関係で, xSy は, E のある有限列 x_0, … , x_n が存在し, 0 ≦ i < n に対して x_i R x_{i+1} かつ
x_0 = x かつ x_n = y なることとする. ここに, (x, y) ∈ R , (x, y) ∈ S を, それぞれ xRy, xSy と記述した.
定理: この時, S は定礎となる.
証明. 仮に, S が定礎でないと仮定して, 矛盾を導く. E の空でないある部分集合 A が, 任意の x ∈ A に対して y ∈ A が存在して, ySx となっていると仮定する.
B = {x ∈ E | (∃a ∈ A)(aSx)}
と置く. 仮定より, A ⊆ B である.
そこで, E は R に関して定礎だから, B は R-極小元 a を持つ. B の定義より, b ∈ A が存在し, bSa となる.
Case 1. bRa ならば, b ∈ A ⊆ B だから, a が B の R-極小元であることに反する.
Case 2. E の元の有限列 x_1, ・・・, x_n (n>0) が存在して
bRx_1 かつ x_1Rx_2 かつ… かつ x_{n-1}Rx_n かつ x_n Ra
となる時. この時, bSx_n で, x_n R a だから, x_n ∈ B かつ x_n R a となり, a が B の R-極小元であることに反する.
証明終わり.
この定理の通常の証明は, E に Sに関する無限下降列が存在すると仮定して矛盾を導くというやり方です. その時に, 通常, 従属選択公理を使います. 今回は, 従属選択公理を避ける形で, 証明してみました.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)
