今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 以下の問題について解説します:
M を m 次元位相多様体, N を n 次元位相多様体で, M と N は同相な時, m = n を証明せよ.
解答: f : M → N を同相写像とする. x ∈ M を任意に取ると, f は同相写像 g : (M, M - {x}) → (N, N - {f(x)}) を誘導する. そこで, Z 係数 local homology 群 H_k (M, M - {x}), H_k (N, N - {f(x)}) を考えると,
H_k (M, M - {x}) = Z for k = 0 or m
H_k (M, M - {x}) = {0} otherwise
H_k (N, N - {f(x)}) = Z for k = 0 or n
H_k (N, N - {f(x)}) = {0} otherwise
となる. よって, m = n でなくてはならない.
参考文献
local homology については,
J. Munkres : Elements of Algebraic Topology
を参考にした.
文責: Dr. 加藤木 一好
