ある掲示板で, 次のような疑問を見かけました:
『C を複素数体,
f: C → C を, f(z) = |z|^2 で定義すると,
f は原点で Cauchy-Riemman の方程式を満たしているから,
f は原点で正則と言えるのではないですか?』
いいえ, 正則関数というのは, 定義域全体で Cauchy Riemann の方程式を
満たす実全微分可能関数を言います.
逆に言えば, その定義域のある点では
Cauchy Riemann の方程式を満たし, 別のある点では
Cauchy Riemann の方程式を満たさないような実全微分可能関数は,
正則とは言いません. それがルールです.
上記の例での関数 f は, 確かに, 原点で Cauchy Riemann の方程式を満たし,
原点で複素微分可能ですが, C の原点以外の点では, Cauchy Riemann
の方程式を満たさないので, 複素微分可能ではありません.
従って, f: C → C は正則関数ではありません.
文責: Dr. 加藤木 一好
ファイルを更新しました.
（第1, 2章の定式化は, これで完了です.）
第1, 2章のレベルならば, 私でも完全な証明をつけられますが,
第 3章以降は, そうは行かなくなるでしょう.
更新しました。
今回の更新は、第 23 章です。
重要な定理の証明があります。
定理
r を 0 以上の整数,
K = R, or C, E を K ノルム空間, U を E の開集合,
F を点列完備な分離多ノルム空間, f : U → F を写像で,
任意の u \in F' に対して, u \circ f : U → K
は r+1 回微分可能で、
D^{r+1}(u \circ f) : U → L_{r+1}(E; K) は
U の任意の収束点列を L_{r+1}(E; K) の有界集合へ
移すとすると仮定する。
この時、f : U → F は C^r 級である。
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この定理は、もともとはルーマニア語の論文が原型です。
もちろん、私はルーマニア語など読めないので、
というより、原論文が手に入らなかったので、
証明は学生時代に自分で考えました。
但し，完全な証明を考え終わるまで、
3年半くらいかかった経緯があります。
文責：Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)
