積分論のノート 更新しました. 今回の更新は, シュワルツ解析学の積分で, 局所有界変動関数 M から定まる Radon 測度についての理論が定式化されているのですが, M が特に, 方正関数の (広義) 原始関数の場合にどうなるかについて, 定式化をしたものです. リ…

今回の数学エッセーでは, 連結集合についての次の問題を解説します: 定理: X を連結位相空間, A, B を X の閉集合で, A∩B が連結であるとする. この時, A と B の両方が連結である. 証明. 帰謬法によって証明する. 仮に, A が連結でないとすると, A の空でな…

勉強の中には、幼い頃からやらないと身に付かないものと、 大人になってからの方が効率的に身につけられるものの2種類があります。 幼い頃からの学習が必要なものとして、読み書き、計算。 特に、母語となる言語や四則演算はそうです。 大人になってから身に…

kazz 数学ノート, research gate に up しました. 測度には大まかに, 二つの流儀があって, 可算加法的集合関数としての定義による 抽象測度と, テスト関数の空間上の連続線型形式としての Radon 測度があります. 大学では抽象測度をよく習いますし, 確率論で…

今回の数学エッセーでは, ローマン・メンショフの定理を紹介します. 定理 (ローマン・メンショフ) U を複素平面 C の開集合, f:U → C を連続写像で, U から R への連続写像 u, v を使って f = u + iv と書き, u, v を実2変数実数値関数と見做したとき, u, v …

男はマルチタスクが苦手で、女はマルチタスクが得意。 こんなことを聞いたことがあります。 男女の性差はわかりませんが、基本的に、マルチタスクと言うのは、 脳の健康には良くないそうですね。

あるお医者さんがその著書で、 『鳥はいつも空を飛んで羽ばたいているから、鶏の胸肉にはすごく栄養がある。鶏の胸肉を毎日食べ続ければ、2週間で疲れが取れる。』 と言っていました。 いえ、鶏の胸肉って、あの鶏ですよね？ 鶏は空を飛べないんですよ。 僕…

先生の仕事をしていると、よく勘違いしやすいことですが、 厳しい指導をすることと暴力的な態度をとることを混同している先生がたまにいます。 暴力的と言っても、物理的な暴力だけではなく、言葉や態度の暴力も含まれます。 そういう、暴力的な態度をとって…

大学院に進学する際に指導教授を選ぶ際、 将来研究者になりたい人は、同じく研究者志望の子供を持つ教授を 指導教授に選んではいけません。 理由は分かると思いますが、教授といえども人の子で、 赤の他人である学生よりも、自分の子供を優先的にアカデミッ…

今回の数学エッセーでは、下記の問題について考えます: U を R^2 の開集合, f : U → R を写像で, 任意の z ∈ U に対して D_1 f(z) と D_2 f(z) が存在し, D_1 f , D_2 f : U → R は 点 a = (a_1, a_2) ∈ U に於いて連続とする. この時, f は点 a ∈ U に於い…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 下記の問題を考えます: 問題: r, n を 0 < r, n なる自然数とし, A を可換体 K 上の n 次正方行列で, A^r = 0 かつ A^{r-1} ≠ 0 とする. 今, x を A^{r-1} x ≠ 0 なる K^n の元とする時, K^n のベクトルの列: x…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の問題を扱います. 問題. X, Y を集合とする時, Y∩Z = φ かつ双射 f: X → Z が存在するような 集合 Z の存在を示せ. 回答: X が有限集合 {a_1, ..., a_n} の時は, n に関する帰納法により, Y ∪ {b_1, ..., b_…

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の質問について論じます. 『Q 上に R 線型空間構造はつきますか？』 答え: つきません. 仮に、Q 上に R 線型空間構造がつくと仮定すると, その線型空間構造に関して 0 でない Q の元 a を取ると, Ra ⊆ Q とな…

最近、このブログで一番読まれている記事は、 大学数学を独学するための参考文献 part 1 です。5ch 数学版で、大学数学を独学したいが、 どんな本を読んだらいいかという質問をした人が二人いて、 彼らは、5ch の住人から手酷い仕打ちを受けてしまいました。…

今週土曜日までの数学 [ブルバキ代数] 角と sin cos tan の加法公式. tan x = ∞ の場合も含めて. [ブルバキ多様体] ベクトルバンドル. 係数体の拡大.

今週までの数学 [ブルバキ多様体] vector bundle の section と基底. [ブルバキ代数] 回転群と倍角の公式.

数学は理解か暗記か？ 結論を言えば、程度問題です。 いくらその場で理解しても、後になって忘れていては、知識として活用できません。 逆に、いくら暗記していても、内容を理解していなければ、 言葉の羅列を頭の引き出しにしまっているのと同じで、 知識と…

今週の数学 [ブルバキ代数] 角 [ブルバキ多様体] 複線型型射, 線型環繊維空間.

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 以下の問題について解説します: M を m 次元位相多様体, N を n 次元位相多様体で, M と N は同相な時, m = n を証明せよ. 解答: f : M → N を同相写像とする. x ∈ M を任意に取ると, f は同相写像 g : (M, M -…

今回の数学エッセーは, 点列の収束と集積点についての話題です. 一般に, 位相空間 X 内の点列 (a_n)_{n ∈ N} が X 内にただ一つの集積点 b を持っても, (a_n)_{n ∈ N} は X に於いて b に収束するとは限りません. 反例: X = R, a_{2k} = 1/k, a_{2k+1} = k …

今週の数学 [ブルバキ多様体] 余型射. [ブルバキ代数] クリフォード群 [公理的集合論] 整列集合と順序数の間の同型

僕は昔から、二股とか三股ができない男で、 見る人が見ると、お堅いやつだと思われていたようです。 ただ、そのお堅い性格のおかげで、いまの恋人とはうまくやっていけています。 彼女も二股ができない性格で、お互いに信頼関係を築き上げることができていま…

今回の数学エッセーでは, ブルバキ『数学原論』多様体の, principal fiber bundle の記述の間違いを紹介します. 具体的には, p.61, 6.2.2 です. G が P に適性かつ自由に作用するとありますが, G が P に適性作用するためには, 底空間 B がハウスドルフであ…

今回の数学エッセーでは, ブルバキ『数学原論』多様体, 2.2.4 の, 一点の補集合で微分可能な関数の延長の問題に関する反例を紹介します. 2.2.4 では, ノルム空間 E の開集合 U のある一点 a の補集合 U - {a} から分離多ノルム空間 F への写像 f が微分可能…

今回の数学エッセーでは, ブルバキ多様体の記述の間違いの一つを紹介します. 目立つ間違いを具体的に指摘すると, vol.1 の p.23, 3.3.1 で, 関数 f:U → F が整型であることと微分可能であることとが同値であるという主張ですが, これには反例があります. (複…

今回の数学エッセーでは, クリフォード群についての, ブルバキ『数学原論』の記述の間違いを紹介します. ブルバキ『数学原論』代数 vol.7, p.129, 補題 5 で, G^+ は G の指数 2 の部分群であるという記述がありますが, この主張は, E が 奇数次元の場合は, …

今週の数学は [多様体] ベクトルバンドルの pull-back [代数] クリフォード群. ブルバキの記述に間違いを見つけました.

今回は、学問の数学が、試験の数学といかに異なるかという話題です。 結論を言ってしまうと、最もわかりやすい違いは、制限時間があるかないかという点です。 その違いは、学問の勉強と試験の勉強での、やるべきこと、できることの違いを、 如実に物語ってい…

10年以上前に買った模型に、久しぶりに手をつけました。 ずっと組み立てていなかったのですが、途中からのスタートです。 ガンダム・センチネルの S-ガンダム、マスターグレードです。 これを買った当時は、甥っ子が小学生で、 『おじちゃん、早く作ってよ。…

今週の数学 [ブルバキ代数] 奇数次元のベクトル空間の2次形式のクリフォード代数. クリフォード群. [ブルバキ多様体] ベクトルバンドルの基本. C^r class map の adjoint に関する定理. [ブルバキ位相線型空間] 再帰ノルム空間. ヒルベルト空間まで.