今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た,
下記の問題を考えます:
問題: r, n を 0 < r, n なる自然数とし,
A を可換体 K 上の n 次正方行列で, A^r = 0 かつ A^{r-1} ≠ 0 とする.
今, x を A^{r-1} x ≠ 0 なる K^n の元とする時,
K^n のベクトルの列:
x, Ax, ... A^{r-1}x
は K 上線型独立であることを証明せよ.
(特にこの場合は, r≦n となる.)
回答: b_1, ... b_{r-1} を K の r 個の元で,
y = b_0x + b_1Ax + ... + b_{r-1}A^{r-1}x = 0
となっているとする.
然らば,
A^{r-1}y = b_0 A^{r-1} x = 0
かつ
A^{r-1} x ≠ 0
だから,
b_0 = 0
を得る.
以下帰納的に, i< r-1 に対して
b_0 = ... = b_i = 0
を得たとしよう.
y = b_{i+1}A^{i+1}x + b_{i+2}A^{i+2}x + ... + b_{r-1}A^{r-1}x = 0
となるから,
A^{r-2-i}y = b_{i+1} A^{r-1}x = 0
となり,
A^{r-1}x ≠ 0
だから,
b_{i+1} = 0
を得る.
よって, 帰納法の仮定より,
b_0 = ... = b_{r-1} = 0
がわかる.
証明終わり.
文責: Dr. 加藤木 一好
