今回は, 最近ネットで見つけた, 微分積分学の第二基本定理を証明します.
定理: [a, b] を R の有界閉区間, f : [a, b] → R をリーマン可積分な有界関数, F : [a, b] → R を連続関数で, 任意の x ∈ ]a, b[ に於いて F は微分可能で, DF(x) = f(x) が成り立っているとする. この時, ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) が成り立つ.
証明, 任意の正数 δ と [a, b] の任意の分割 t_0 = a < t_1 < ・・・< t_n = b で max _{1 ≦ k ≦ n} (t_i - t_{i-1}) < δ なるものに対し, 任意の i (1 ≦ i ≦ n) に対して ξ_i ∈ ]t_{i-1}, t_i[ をうまく選び,
Σ_{i=1}^n f(ξ_i)(t_i - t_{i-1}) = F(b) - F(a)
が満たされることを証明すれば良い. 実際, 平均値の定理より, 任意の i (1 ≦ i ≦ n) に対して ξ_i ∈ ]t_{i-1}, t_i[ をうまく選び,
f(ξ_i) = DF(ξ_i) = (F(t_i) - F(t_{i-1})) / (t_i - t_{i-1})
が満たされるから, このことは明らかである.
証明終わり.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi