今回の数学エッセーでは, 次の問題を考えます. (未解決です.) M を実解析多様体 (有限次元ハウスドルフで位相が可算基底を持つものとする.), N を M の実解析的閉超曲面 (超曲面とは, codimension 1 の部分多様体のこと.) で, M - N = U ∪ V (U, V は M の開…

僕は学部生の頃, 以下の問題を解きました: M を実解析多様体 (特に断らない限り, 有限次元でハウスドルフ, かつ位相が可算基底を持つものとする.), N_p ⊆ N_{p-1} ⊆ ・・・⊆ N_1 を N_0=M の部分集合の減少列で, N_{i+1} は N_i の C^{s_{i+1}} 級部分多様体…

昔、STAP 細胞関連の論文が問題になり、今回も皇室の方の作文が問題になり、何かと、『引用か剽窃か』で取り沙汰される件があります。 私は学術論文を書いた経験がありますから、何がセーフで何がアウトか、その明白な分かれ目を知っています。 それは、 [1]…

位相空間論 (General Toplogy) は、論理との結びつきが明快で、すごく理路整然とした定式化で、わかりやすいですが、直観的にイメージしづらい部分もあります。 その点を助けるため、僕が 20歳前半の頃に読んだ本を紹介します。 M. デイヴィス 『超準解析』…

現時点での進捗状況です。 [1] ブルバキ多様体は、Chapter 8 の必要な部分まで、定式化のし直しが終わり、リー群とリー環に入っています。リー群の多様体構造について、C^r_i 級での定式化を行うためです。(0 ≦ r ≦ ω, i = 0, 1, or 2.) ただし、逆関数定理…

今回は、複素解析関数の中でも、entire function と呼ばれるものについて, 初歩的なことを論じます. まず, よく知られていることですが, f : C^n → C が entire function のとき、任意の x ∈ C^n に対し, 必ず, limsup_{n → ∞} || D^n f (x) / n! ||^{1/n} =…

今回は, 東京図書からでているブルバキの数学原論, 積分 vol.1 (初版は 1968年) の翻訳ミスを紹介します. p.229 の系で,『 正値測度 λ で, (中略) かつ x を重心とするものが少なくとも一つ存在する.』 とありますが, これは, 多くとも一つ, の間違いです. …

大学教養レベルの微積分と線形代数を学んだ後、ブルバキを読む際には、 注意しなくてはならないことがあります。 それは、集合論を飛ばしてはならないと言うことです。ブルバキ集合論では、位相や代数などを勉強する際の集合算や順序関係の基本について学び…

一般逆関数定理の定式化, 完了しました. 微分多様体の基礎 6 〜バナッハ多様体の基礎 II〜 上の pdf にあります. pdf で,『一般逆関数定理』で検索すれば出てきます. 定式化は, 以下の通りです: i = 1 or 2, 1 ≦ r ≦ ω とする. X, Y を C^r_i 級多様体で, X …

今回の数学エッセーでは, 数学の中では, 幾分通俗的な記事を書いてみます. テーマは, 『背理法は必要か?』 ここで言う背理法とは, 論理式 A に対し, not A を仮定して矛盾が出たら, A が証明可能であると主張する原理です. 結論を言うと, 数理論理学に, 以下…

更新しました 微分多様体の基礎 6 〜バナッハ多様体の基礎 II〜 このノートは, スキャナーで読み込んだ以下のノートの補足です: 微分多様体の基礎 5 〜ファイバーバンドルの基礎〜 微分多様体の基礎 7 〜ベクトル場の基礎〜 そのほか、バナッハ多様体の基礎…

このあいだですが、職場で、珍しく PC での作業をしました。 エクセルのマクロを作ったのですが、 内容は、セルに入力した数字が、与えられた数値の範囲に入っていないときに、 そのセルが赤くなるというもの。 もちろん、入力がないときにセルが赤くなって…

コロナのオミクロン株の流行のおかげか、 オミクロン株をGoogleやYahooで検索しようとすると、 検索候補に 『おμ』 の文字が結構出てきます。 しかし、『おμ』は間違いで、正しくは、『ο』です。 きっと、ギリシャ文字を知らない人が多数検索しているのでし…