kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

kazz の数学旅行記 / 総合案内板

kazz のブログ, 数学旅行記 の案内板です:


[1] 私が出会って、この方から学問や人生に関して、多大な影響を受けた

ミュージシャン、eliya に関する特設コーナーです:


eliya ~ top end artist ~


[2] 数学について, kazz が自由な形式での意見を述べた,


数学エッセー集 はこちら です.



[3] 次に, 数学について, kazz がある程度まとまった情報を発信した,


数学知恵ノート が, こちら です.



[4] 最後に, そのほか, 日頃の様々なことについての,


kazz の日記 が, こちら です.




このブログの目的は, 基本的に, 数学の資料を公開することです.

Fundamentally, the purpose of this blog is to publish 

mathematical materials.


普段の記事では, 数学やフランス語などについて, 

In the everyday story of my blog, I am writing about



the progress situation of 

the daily studies of mathematics and French, and so on.


なお, 外部からのコメントは一切受け付けておりませんので, 

It should be noted that I never accept any comments from others,  


悪しからず, ご了承ください.

please note sorry. 





注意: 私に対する誹謗中傷を繰り返し掲載しているサイトが見つかっておりますが,

Attention: I found the web sites which repeatedly post

defamations against me, 


そのようなサイトとは, 私および私のブログは一切無関係であることを, ここに断っておきます.

but notice that I and my blog are absolutely unrelated with such sites. 










まず, 私の数学ノートについて.

At first, about my mathematical notes.



They are published at following.


kazz の数学ノート 


中には重要と思えるものや, つまらないもの, たくさんあります.

Some of them are seemed to be important, 

and some are insignificant, and many others.


この案内板では, 重要と思えるものに対して, リンクを貼っておきます.

In this guide plate, I will paste the links to the important-seemed ones. 








My doctoral thesis


On the self homotopy set 

of the quaternionic projective space 

of dimension 4 and 5




この論文の Theorem 3 では, 

At the theorem 3 of this article,


2006 年に Gon?alves と Spreafico によって書かれた

I give the counter example of theorem 3 of the following article


以下の論文の Theorem 3 に対して反例を与えています:

written by  Gon?alves and Spreafico in 2006:


Quaternionic line bundles 

over quaternionic projective spaces.




彼らが間違えて述べた定理は, 以下のとおり:

Following is the wrong theorem which they asserted:


「n 次元四元数射影空間 HP^n に対し, 

"For the n dimensional quaternionic projective space HP^n,


k を n-realizable integer とするとき,

k being the n-realizable integer,


 HP^n の degree k の self map の homotopy 類 の全体の基数 K(n, k) は, 

the cardinal K(n, k) of the homotopy classes of the self maps of HP^n

of degree k


k の偶奇と n にしか依存しない.」

depends only on n and the parity of k."


しかし, 私が与えた反例は, 以下のものです:

But I gave the following counter example:


「K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2.」

"K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2."


私の博士論文の Theorem 3 は, 本来博士課程在籍時に

The theorem 3 of my thesis was originally to be submitted



to academic journal when I enrolled in doctoral course,


校正が間に合わず, 投稿を見送った経緯があります.

but the proofreading process was not in time, 

I passed up the submission at that time.



But my adviser told me,


「君の博士論文は, 埋もれてしまっては具合が悪い. 

"If your doctoral thesis is buried, it will be so bad. 


アーカイブでも何でもいいから, 発表できないものか?」

Can you publish it at arXiv or ANYTHING?"




いつ, 他の研究者の方が参照されてもよいように, ここに公開しておきます.

So that I will publish it here in order to whenever other researchers

can refer to it.


(私には, アーカイブによる論文の発表の方法は, わからないのです.)

(I don't understand how to publish articles in arXiv.)






Theorem 3 について、証明のアウトラインをまとめております。






次に, ブルバキ数学原論, 多様体要約の補足ノート

Next, the supplementary notes of Elements de mathematique

summary of manifolds, Bourbaki.




私は基本, 多様体論は, ブルバキを中心に勉強しました.

I studied theory of manifolds fundamentally by Bourbaki.


§1, §2, §6, §7 には, 完全な証明を与えています.

I gave the complete proof to  §1, §2, §6, and §7.


以前交流のあった学生さんで, ブルバキ多様体に興味を持たれて,

One student with whom I had mathematical interchanges 

was interested in the manifold of Bourbaki before,



he read it with my notes.


ブルバキ多様体, 特に principal bundle (§6) や 

The manifold of Bourbaki, especially, the description of

principal bundle (§6) 


vector bundle (§7) の記述は,

and vector bundle (§7)


一般論の知識を速やかに手に入れることのできる, 優れたものです.

are very excellent ones by which you can get the knowledge of 

general theory immediately.


興味のある方は, 是非、お読みください.

If you are interested in them, please read them please.







次に, Stokes の定理のノート:

Next, the note of the Stokes' theorem.


Stokes' Theorem


Stokes の定理の不毛なまでの一般化から解放されたい方は,

If you want to be released from generalization of 

Stokes' theorem up to barren,



you can reach to the stanza of settlement.


ブルバキ多様体vector bundle や捩れ微分形式,

Because this note requires the knowledge of vector bundles

and twisted differential forms in manifolds of Bourbaki



and vector measures in the theory of integration of Bourbaki,



please read this patiently.






次に, 実解析多様体の部分多様体に関するノート:

Next, the note about submanifold of real analytic manifold.


Raising the differentiability class of 

Submanifolds of a Real Analytic Manifold




実解析多様体 M の C^r 級部分多様体 N (r>0)に対し, 

It is the proof of that for any C^r class submanifold N (r>0) 

of a real analytic manifold M,


M の C^r 級自己同型 f が存在し,

there exists a C^r self diffeomorphism f of M


f(N) が M の実解析部分多様体になることの証明です.

such that f(N) becomes a real analytic submanifold of M.


但し, このノートでは, もう少し強いことを証明しています.

But I prove more stronger result in this note.


興味のある方は, 是非, ご覧ください.

If you interested in, please read this.









次に, 私が修士課程院生のころの数学基礎論自主ゼミの折に,

Next, this is the note of the voluntary seminar of elementary logic

which I wrote down and was used as text book 

when I was in master course. 






第3章では, Mendelson の定理の一般化が述べられています.

In chapter 3, the generalization of the theorem of Mendelson

is asserted.


あと、不完全性定理.pdf では, ゲーデルの第一・第二不完全性定理


Further, in the pdf "mathematical logic 4", 

the first and second imcompleteness theorem of K. Godel

are formalized strictly.




この定式化では, 論理式のレヴィ階層が非常に重要です.

In this formalization, the Levy hierarchy of formulae

is very important. 






次に, コルモゴロフの「確率論の基礎概念」の間違いを指摘したノート

Next, the note which points out the error of 

"Fundamental notion of Provability Theory" of Kolmogorov.




amazon の書評でも, その間違いに触れています.

In the book review of amazon, I mention to the error, too.




最後に, 岩波基礎数学選書 「ホモロジー代数」の

At last, the note of pointing out the small error of

"Homological Algebra" of Iwanami's fundamental mathematical 

book collections.




[ホ] - Google ドライブ


このミスについても, amazon の書評で触れています.

About this miss, I also mention it in the book review of amazon.




重要と思えるノートは, 以上です.

These are the important-seemed notes.







次に, 大学以上のレベルの数学を勉強するための参考文献を記した 

Next, I introduce the note of knowledge of references in order to

self-study mathematics of the level more than university.




まず, 集合論については, 以下の知恵ノートを参考にされてください:

At first, about set theory, please refer to following note: 


数学文献ノート ~ZFC 集合論入門~ 


次に, 学部レベルの数学の基礎については, 

Next, about fundamentals of the mathematics 

of levels more than faculty,



please refer to this note:


大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~ 



最後に, 代数トポロジー, ホモトピー論については, 

At last, about algebraic topology and homotopy theory, 



please refer to this note:


大学数学を独学するための参考文献 Part 2 ~ホモトピー論入門編~ 






最後に, 完全性定理, 不完全性定理についての解説についての

At last, I introduce the note which expounds 

the completeness theorem and the imcompleteness theorem

of Godel.




まず, 形式論理についての解説ノート:

At first, this is the note about formal logic.


(等号) 述語論理, 形式的体系のモデル, ゲーデル数についての解説 



そしてこれが, 完全性定理, 不完全性定理についての解説ノート:

Next, this is the note about the completeness theorem

and the incompleteness theorem.


完全性定理, 不完全性定理についての解説. 



These completeness theorem and incompleteness theorem

are often misunderstood, 





so that I wrote down the note of expounding them.







Here finish the guidance.


この記事に 0















ブルバキ位相 vol.1

ブルバキの位相の和訳、vol.1 につき、


ZF  -  {正則性公理}








ZF  -  {正則性公理}












実射影空間 PR^n は、S^n の -x と x をそれぞれ同一視して得られる、


実 C^ω 級多様体です。


S^n の開上半球面 H^n は、PR^n の開部分多様体で、


明らかに、H^n は R^n と C^ω 微分同相です。


そこで、任意の k次元実 C^r 級多様体 M (1 ≦ r ≦ ω) に対し、


M は R^{2k+1} の閉集合として C^r 級に埋め込めます。


そこで、M → R^{2k+1} → H^{2k+1} → PR^{2k+1}


なる C^r 級埋め込みの系列ができるので、結論が従います。




文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)


今、ブルバキの位相 vol.1 の内容を検証しています。


検証の目的は、ZF - {正則性公理} の範囲で、どれだけ定式化が可能かを見るためです。





フレッシェ微分の基礎理論の pdf の紹介

この知恵ノートでは、ブルバキ数学原論 多様体 要約

Chapter 1, 2 の補足ノートの紹介をします.

(PDF) 微分多様体の基礎 1


google の方は、こちらです.



大まかな構成として, 微分可能関数の議論を, 係数体 K が離散でない付値体の場合に一般化します. つまり, K が p 進体 のみならず,

有理数体 Q の場合とかにも定式化されています. 尚, ブルバキ の原著では, K が R でも C でもない場合は, 可換で完備な超距離体と仮定されています.


ただし, 最も重要な場合といえばやはり, K が R 又は C の場合でしょう. この点は微分積分学の成立した経緯もあり, その重要性は, 揺るぎないです.


さて, 以下, 微分多様体の基礎 1 の紹介です.


第1, 2 章. ここは, 用語とか定式化のための準備です. 大した難しさはないですが, 本書で使う用語や記号のルールが書いてあります.

余談ですが, ブルバキの原著で, 係数体が可換としていた理由も記載しております. これはシンプルで, 高階微分を自明のものとしないためです. 


第3章. 形式冪級数に関する議論です. この章で論じたことは, 後ほど執筆する予定の, 解析関数の理論の基礎となります. 本書での理論構成上は, 第4章以降には, 形式冪級数は出てきません.


この章では, 一点だけ自明でない定理があって, α が |α| = m なる multi-index を動く時の P_α(E_1, … , E_n; F) の直和位相線型空間 G_m が, P_m (E; F) に同型なることの証明が詳しく述べられています. このおかげで, 解析関数の定義域の方のノルム空間を E 一つだけにするのか, E_1, … , E_n からなる『多変数』とするのか, という問題に, 神経質にならずに済みます.


特に, 係数体 K が 超距離体の時は, G_m は P_m (E; F) と, 分離多ノルム空間として同型となります. 


そのほかは, 形式冪級数への代入操作の一様連続性の議論などです.

尚, ブルバキの原著では, 形式冪級数の理論は, 補遺に回されております.


第4章. この章では, 接触次数の定式化が行われます. 接触次数とは, 2つの関数の芽が『どれだけ近いか』を表す指標の一つです. 


尚, 接触次数は, ブルバキの原著では自然数ですが, ささやかな精密化として, 実数値を取るものとしても, 定式化できます. 


第5章. この章では, 微分可能関数の定式化が行われます. 他の本では C^1 級という性質が扱われますが, ブルバキ独自の定式化として,『真に微分可能』というものがあります. 


いずれの場合でも, 微分可能関数は, 一般に, ノルム空間の開集合 U で定義され, 分離多ノルム空間に値を取る, フレッシェ微分として定式化されます.


第6章. この章では, 微分可能関数, 及び真に微分可能関数の合成や直積などの基本演算について述べられます. 


特に重要なのは, 後ほど頻繁に出てくる, 微分可能関数 (resp: 真に微分可能関数) f : U → F と連続線型写像 u : F → G との合成の微分係数についてです. ここで, U は K ノルム空間 E の開集合, F, G は分離多ノルム空間です.


『線型』という概念は, 微分の基本的なツールで, 理論の基礎づけのために, 大きな役割を果たします.


第7章. この章では, 偏微分を取り扱います. 偏微分と言っても, その本質はやはり, 部分ノルム空間に制限した場合のフレッシェ微分です. ただし, 偏微分では, 部分ノルム空間を平行移動し, 部分アフィン空間としなくてはなりません. ここでは, 部分アフィン空間上の関数の微分多様体本論に委ね, ノルム空間の開集合で定義された関数の微分の範囲で, 偏微分を定式化しております.


この問題の解決のためには, フレッシェ微分をはじめから, ノルムアフィン空間の開集合上で定義された関数について定式化する必要があり, 実際に, L. Schwartz 解析学では, その方法での定式化を成功させています.


第8章. この章では, 微分可能関数の積の微分を一般化し, f_1, …, f_n をそれぞれノルム空間 E の開集合 U から分離多ノルム空間 F_i への微分可能関数, u を F_1 ×・・・× F_n から 分離多ノルム空間 G への連続 n 複線型写像とする時, 合成 u(f_1, …, f_n) の微分可能性と, その微分係数について論じます. 特に, F_i がノルム空間の場合, u の微分可能性と, その微分係数にまつわる評価が, のちに重要になってきます.


第9章. この章のメインは, 開写像定理の真微分可能関数バージョンの定式化です. L. Schwartz 解析学微分法の章では, f をバナッハ空間 E の開集合 U からバナッハ空間 F への C^1 級写像で, Df(x) が U 上至る所全射になる場合, f が開写像である, という趣旨の断り書きがあります. しかし, その証明は難しいため, 載っていません.


この章では, バナッハ空間 E の開集合 U からバナッハ空間 F への写像 f がある点 a ∈ U において真に微分可能, かつ Df(a) が全射な場合に, a のある開近傍 V への f の制限が開写像であることを証明します. この定理そのものは, N. Bourbaki の多様体要約にも結果だけが掲載されておりますが, 証明は難しいです.


そのほかにも, 一点で真に微分可能な関数が局所的に単射になる場合や, 局所位相同型になる場合の初等的なケースが扱われます. Bourbaki の多様体要約では, 陰関数定理の初歩としての取り扱いです. 陰関数定理については, 本 pdf でも, 後ほど, 詳しく取り扱います.


第10章. この章では, 高階微分可能関数や C^r 級関数などの定式化を, 係数体が離散でない可換付値体の場合に行います. と同時に, 高階微分可能性の判定を, 関数がノルム空間に値を取る場合に, ある程度帰着させられる定理を証明します. この定理は後ほど, 合成関数の高階微分可能性を論ずる際に, 役立ちます.


第11章. この章では, 係数体が R 又は C の場合に, フィルターによる関数族の極限と微分操作の交換可能性について, 論じます. 極限の存在を保証するため, 値の空間 F の完備性についての仮定が問題になりますが, 単に完備とするのではなく, 問題のフィルターに応じて, 完備性の仮定の度合いを調節しております. フィルター G を固定したときに, G 完備という概念がそうです. その最も典型的なケースが, 関数列の極限を扱う場合で, この場合は, F が点列完備であれば良いです.


L. Schwartz の解析学では, なぜか積分の章にこの定理が紹介されておりましたが, 本 pdf の証明の本質的な部分は, L. Schwartz によるものです. ただし, 本 pdf では, 一様空間論の知識を仮定するため, 証明がより効率的になっております.


第12章. この章では, K = R, C, 又は H の場合のフレッシェ微分の定義を, 接触字数の考え方を使わずに書き直します. また, それだけの章です.


第13章. この章では, 2つの微分可能写像と, 点列連続双線型写像との合成が, 微分可能であることを証明します. ブルバキの原著では, K = R の場合のみの定式化でしたが, 本 pdf では, K が離散でない可換付値体の場合にも定式化されます. 証明には, 可算選択公理が必要ですが, 断りなく使っています.


第14章. この章では, ベクトル値関数の平均値の定理についての定式化です. I = [a, b]を R の有界区間, F を分離局所凸空間, f:I → F を微分可能写像とするとき, f(b) - f(a) は, { Df(x)(b-a) | x \in I}

の F における閉凸包に入るというていりです. F が 1次元で f が C^1 級の場合が, 通常の平均値の定理です. この定理は, 有限増分の定理の精密化であり, 後の弱微分可能関数の理論で使われます.


第15章. この章では, K = R とし, ノルム空間 E の開集合 U, a ∈ U, 分離多ノルム空間 F, U - {a} から F への微分可能写像 f が与えられ, x → a の時, Df(x) がある極限 L ∈ L (E; F) に収束する時, f が U 上に微分可能性を保って延長され, Df(a) = L になるための条件について論じます. 


一つの十分条件として, F が点列完備, かつ E が R 上 2次元以上, というものがあります. これらの条件を, どちらか一方でも外すと, 反例があります.


第16章. この章では, 合成関数の高階微分可能性について論じます. 証明のための道筋として, この章では, 高階微分可能写像と連続複線型写像との合成の高階微分の理論が, 系統的に述べられます. 第10章で定式化された, 高階微分可能性の判定基準が, この章で生かされます. 


著しいのは, 合成関数の高階微分係数を, 元の関数の高階微分によって, 具体的な式で表しているところです. L. Schwartz 解析学微分法の章では, K = R or C の場合に, テイラーの公式の応用として, 合成関数の高階微分を, 元の関数で表す公式を作りました. が, 自然数の階乗が係数になっているため, そのままの形では, K が一般の離散でない可換付値体の場合には適用できません. 


公式の証明そのものは, 公式が具体的に与えられてしまえば, 帰納法による地道な証明なので, 演習問題に回しています. 


第17章. この章では, 亜連続な双線型写像と高階微分可能写像の合成の, 高階微分係数の存在を証明します. K = R or C の場合は, よく知られたライプニッツルールですが, K が一般の離散でない可換付値体の場合は, 自然数の階乗の問題から, 二項係数は使えません. そこで, 第16章と同じ考えでの定式化が必要となります. 


準備として, 分離多ノルム空間内の有界集合の理論が定式化され, その多くの性質が, ZF 内で証明されます.


第18章. この章では, 陰関数定理と逆関数定理を, 系統的に定式化しています. 1 ≦ r ≦ ∞ なる r について, C^r 級の方程式を満たす陰関数やがどう言うときに存在するか? そして, どう言うときにその陰関数が C^r 級になるか? やはり, 係数体は離散でない可換付値体です.


特に, 技術的な理由で, ノルム環に値を取る関数 f について, x → f(x)^{-1} が C^r 級になることの証明を, 系統的に行なっております. この議論が, 陰関数や逆関数の C^r 級性の証明に, 大きく役立つのです.


第19章. この章では, K = R, or C の場合に, 高階階差の高階微分係数への収束とその速さを, 系統的に定式化します. 逆に, K が離散でない可換付値体の場合, 高階階差のある種の一様収束性から, 高階微分係数の存在を証明します. もちろん, 微分はフレッシェ微分の範囲で行います.


特に, 2階微分係数について, Young の定理や Schwartz の定理を, フレッシェ微分の範囲で定式化しなおします.


第20章. この章では, テイラーの定理とその逆についての定式化を, 系統的に行います. まずは, r 回実又は複素微分可能関数についてのテイラーの公式の定式化です. 次に, 漸近展開としてのテイラー係数の一意性の問題, 次に, 数値計算でよく使われる 2n+1 点公式の定式化. 最後に, 係数体が離散でない可換付値体の場合, テイラーの公式の元の関数へのある種の収束から, 元の関数が r 回微分可能であることを導きます (テイラーの定理の逆). 


第21章. この章では, 高階微分積分の順序交換の問題を系統的に論じます. L. Schwartz『解析学』の積分 vol. 4 に掲載されている内容を, 更に一般化します. 積分については, ラドン測度と一般の抽象測度の両方とを扱います. 更に, L^p 空間に値をとる関数の高階微分についても取り扱いがあります.


第22章. この章では, K = R 又は C の場合に, 弱 C^{r+1} 級関数が C^r 級であると言う定理を, 系統的に精密化し, 定式化します. ブルバキ多様体の実微分可能関数の章の一番最後の部分で, 難しいところです. 定式化の際には, ベクトル値関数の平均値の定理が使われます.


第23章. この章では, ユークリッド空間の開集合 U で定義され, U の閉部分集合内 A で m 階までの高階微分が 0 になる関数 f について, D^k f の評価を精密に行います. H. Whitney の昔の論文に, このような評価がたくさん出てきておりました. 



文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)






ZF のどれだけの公理が必要かを紹介します。






[1] 外延性の公理

[2] 対の公理

[3] 合併の公理

[4] 分出公理シェーマ

[5] 冪集合の公理

[6] 選択公理 (これはもちろん必要ですね)









文責: Dr. Kazuyoshi Katogi