kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

kazz の数学旅行記 / 総合案内板

kazz のブログ, 数学旅行記 の案内板です:


[1] 私が出会って、この方から学問や人生に関して、多大な影響を受けた

ミュージシャン、eliya に関する特設コーナーです:


eliya ~ top end artist ~


[2] 数学について, kazz が自由な形式での意見を述べた,


数学エッセー集 はこちら です.



[3] 次に, 数学について, kazz がある程度まとまった情報を発信した,


数学知恵ノート が, こちら です.



[4] 最後に, そのほか, 日頃の様々なことについての,


kazz の日記 が, こちら です.




このブログの目的は, 基本的に, 数学の資料を公開することです.

Fundamentally, the purpose of this blog is to publish 

mathematical materials.


普段の記事では, 数学やフランス語などについて, 

In the everyday story of my blog, I am writing about



the progress situation of 

the daily studies of mathematics and French, and so on.


なお, 外部からのコメントは一切受け付けておりませんので, 

It should be noted that I never accept any comments from others,  


悪しからず, ご了承ください.

please note sorry. 





注意: 私に対する誹謗中傷を繰り返し掲載しているサイトが見つかっておりますが,

Attention: I found the web sites which repeatedly post

defamations against me, 


そのようなサイトとは, 私および私のブログは一切無関係であることを, ここに断っておきます.

but notice that I and my blog are absolutely unrelated with such sites. 










まず, 私の数学ノートについて.

At first, about my mathematical notes.



They are published at following.


kazz の数学ノート 


中には重要と思えるものや, つまらないもの, たくさんあります.

Some of them are seemed to be important, 

and some are insignificant, and many others.


この案内板では, 重要と思えるものに対して, リンクを貼っておきます.

In this guide plate, I will paste the links to the important-seemed ones. 








My doctoral thesis


On the self homotopy set 

of the quaternionic projective space 

of dimension 4 and 5




この論文の Theorem 3 では, 

At the theorem 3 of this article,


2006 年に Gon?alves と Spreafico によって書かれた

I give the counter example of theorem 3 of the following article


以下の論文の Theorem 3 に対して反例を与えています:

written by  Gon?alves and Spreafico in 2006:


Quaternionic line bundles 

over quaternionic projective spaces.




彼らが間違えて述べた定理は, 以下のとおり:

Following is the wrong theorem which they asserted:


「n 次元四元数射影空間 HP^n に対し, 

"For the n dimensional quaternionic projective space HP^n,


k を n-realizable integer とするとき,

k being the n-realizable integer,


 HP^n の degree k の self map の homotopy 類 の全体の基数 K(n, k) は, 

the cardinal K(n, k) of the homotopy classes of the self maps of HP^n

of degree k


k の偶奇と n にしか依存しない.」

depends only on n and the parity of k."


しかし, 私が与えた反例は, 以下のものです:

But I gave the following counter example:


「K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2.」

"K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2."


私の博士論文の Theorem 3 は, 本来博士課程在籍時に

The theorem 3 of my thesis was originally to be submitted



to academic journal when I enrolled in doctoral course,


校正が間に合わず, 投稿を見送った経緯があります.

but the proofreading process was not in time, 

I passed up the submission at that time.



But my adviser told me,


「君の博士論文は, 埋もれてしまっては具合が悪い. 

"If your doctoral thesis is buried, it will be so bad. 


アーカイブでも何でもいいから, 発表できないものか?」

Can you publish it at arXiv or ANYTHING?"




いつ, 他の研究者の方が参照されてもよいように, ここに公開しておきます.

So that I will publish it here in order to whenever other researchers

can refer to it.


(私には, アーカイブによる論文の発表の方法は, わからないのです.)

(I don't understand how to publish articles in arXiv.)






Theorem 3 について、証明のアウトラインをまとめております。






次に, ブルバキ数学原論, 多様体要約の補足ノート

Next, the supplementary notes of Elements de mathematique

summary of manifolds, Bourbaki.




私は基本, 多様体論は, ブルバキを中心に勉強しました.

I studied theory of manifolds fundamentally by Bourbaki.


§1, §2, §6, §7 には, 完全な証明を与えています.

I gave the complete proof to  §1, §2, §6, and §7.


以前交流のあった学生さんで, ブルバキ多様体に興味を持たれて,

One student with whom I had mathematical interchanges 

was interested in the manifold of Bourbaki before,



he read it with my notes.


ブルバキ多様体, 特に principal bundle (§6) や 

The manifold of Bourbaki, especially, the description of

principal bundle (§6) 


vector bundle (§7) の記述は,

and vector bundle (§7)


一般論の知識を速やかに手に入れることのできる, 優れたものです.

are very excellent ones by which you can get the knowledge of 

general theory immediately.


興味のある方は, 是非、お読みください.

If you are interested in them, please read them please.







次に, Stokes の定理のノート:

Next, the note of the Stokes' theorem.


Stokes' Theorem


Stokes の定理の不毛なまでの一般化から解放されたい方は,

If you want to be released from generalization of 

Stokes' theorem up to barren,



you can reach to the stanza of settlement.


ブルバキ多様体vector bundle や捩れ微分形式,

Because this note requires the knowledge of vector bundles

and twisted differential forms in manifolds of Bourbaki



and vector measures in the theory of integration of Bourbaki,



please read this patiently.






次に, 実解析多様体の部分多様体に関するノート:

Next, the note about submanifold of real analytic manifold.


Raising the differentiability class of 

Submanifolds of a Real Analytic Manifold




実解析多様体 M の C^r 級部分多様体 N (r>0)に対し, 

It is the proof of that for any C^r class submanifold N (r>0) 

of a real analytic manifold M,


M の C^r 級自己同型 f が存在し,

there exists a C^r self diffeomorphism f of M


f(N) が M の実解析部分多様体になることの証明です.

such that f(N) becomes a real analytic submanifold of M.


但し, このノートでは, もう少し強いことを証明しています.

But I prove more stronger result in this note.


興味のある方は, 是非, ご覧ください.

If you interested in, please read this.









次に, 私が修士課程院生のころの数学基礎論自主ゼミの折に,

Next, this is the note of the voluntary seminar of elementary logic

which I wrote down and was used as text book 

when I was in master course. 






第3章では, Mendelson の定理の一般化が述べられています.

In chapter 3, the generalization of the theorem of Mendelson

is asserted.


あと、不完全性定理.pdf では, ゲーデルの第一・第二不完全性定理


Further, in the pdf "mathematical logic 4", 

the first and second imcompleteness theorem of K. Godel

are formalized strictly.




この定式化では, 論理式のレヴィ階層が非常に重要です.

In this formalization, the Levy hierarchy of formulae

is very important. 






次に, コルモゴロフの「確率論の基礎概念」の間違いを指摘したノート

Next, the note which points out the error of 

"Fundamental notion of Provability Theory" of Kolmogorov.




amazon の書評でも, その間違いに触れています.

In the book review of amazon, I mention to the error, too.




最後に, 岩波基礎数学選書 「ホモロジー代数」の

At last, the note of pointing out the small error of

"Homological Algebra" of Iwanami's fundamental mathematical 

book collections.




[ホ] - Google ドライブ


このミスについても, amazon の書評で触れています.

About this miss, I also mention it in the book review of amazon.




重要と思えるノートは, 以上です.

These are the important-seemed notes.







次に, 大学以上のレベルの数学を勉強するための参考文献を記した 

Next, I introduce the note of knowledge of references in order to

self-study mathematics of the level more than university.




まず, 集合論については, 以下の知恵ノートを参考にされてください:

At first, about set theory, please refer to following note: 


数学文献ノート ~ZFC 集合論入門~ 


次に, 学部レベルの数学の基礎については, 

Next, about fundamentals of the mathematics 

of levels more than faculty,



please refer to this note:


大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~ 



最後に, 代数トポロジー, ホモトピー論については, 

At last, about algebraic topology and homotopy theory, 



please refer to this note:


大学数学を独学するための参考文献 Part 2 ~ホモトピー論入門編~ 






最後に, 完全性定理, 不完全性定理についての解説についての

At last, I introduce the note which expounds 

the completeness theorem and the imcompleteness theorem

of Godel.




まず, 形式論理についての解説ノート:

At first, this is the note about formal logic.


(等号) 述語論理, 形式的体系のモデル, ゲーデル数についての解説 



そしてこれが, 完全性定理, 不完全性定理についての解説ノート:

Next, this is the note about the completeness theorem

and the incompleteness theorem.


完全性定理, 不完全性定理についての解説. 



These completeness theorem and incompleteness theorem

are often misunderstood, 





so that I wrote down the note of expounding them.







Here finish the guidance.


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今日の勉強 2020/11/22



[1] 代数: 双線型形式と準双線型形式の行列表示, 逆形式や随伴写像の行列表示.


[2] 代数トポロジー: 有限単体複体の自己準同型写像とそのホモロジー群への誘導準同型

の, トレースの交代和.


合計 11ページ分の勉強.


並行して, 公理的集合論入門の定式化も行なっております.













去年の 6月も、二人で上海の街を闊歩した。






まず、今年の 3月ごろだっただろうか、


























今日の数学 20201101

今日は, 位相線型空間から寄り道をして, ブルバキ の代数をやっていました.





[1] 代数・・・双線型形式の一般論.

[2] 代数トポロジー: クラインボトルのホモロジー群.




私は既に CW complex を使ったホモロジーの計算を知っているので,