kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

kazz の数学旅行記 / 総合案内板

kazz のブログ, 数学旅行記 の案内板です:

 

[1] 私が出会って、この方から学問や人生に関して、多大な影響を受けた

ミュージシャン、eliya に関する特設コーナーです:

 

eliya ~ top end artist ~

 

[2] 数学について, kazz が自由な形式での意見を述べた,

 

数学エッセー集 はこちら です.

 

 

[3] 次に, 数学について, kazz がある程度まとまった情報を発信した,

 

数学知恵ノート が, こちら です.

 

 

[4] 最後に, そのほか, 日頃の様々なことについての,

 

kazz の日記 が, こちら です.

 

 

 

このブログの目的は, 基本的に, 数学の資料を公開することです.

Fundamentally, the purpose of this blog is to publish 

mathematical materials.

 

普段の記事では, 数学やフランス語などについて, 

In the everyday story of my blog, I am writing about

 

日ごろの勉強の進捗状況を書いています.

the progress situation of 

the daily studies of mathematics and French, and so on.

 

なお, 外部からのコメントは一切受け付けておりませんので, 

It should be noted that I never accept any comments from others,  

 

悪しからず, ご了承ください.

please note sorry. 

 

 

 

 

注意: 私に対する誹謗中傷を繰り返し掲載しているサイトが見つかっておりますが,

Attention: I found the web sites which repeatedly post

defamations against me, 

 

そのようなサイトとは, 私および私のブログは一切無関係であることを, ここに断っておきます.

but notice that I and my blog are absolutely unrelated with such sites. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

まず, 私の数学ノートについて.

At first, about my mathematical notes.

 

以下で公開しています.

They are published at following.

 

kazz の数学ノート 

 

中には重要と思えるものや, つまらないもの, たくさんあります.

Some of them are seemed to be important, 

and some are insignificant, and many others.

 

この案内板では, 重要と思えるものに対して, リンクを貼っておきます.

In this guide plate, I will paste the links to the important-seemed ones. 

 

 

 

 

 

 

私の博士論文

My doctoral thesis

 

On the self homotopy set 

of the quaternionic projective space 

of dimension 4 and 5

 

 

 

この論文の Theorem 3 では, 

At the theorem 3 of this article,

 

2006 年に Gon?alves と Spreafico によって書かれた

I give the counter example of theorem 3 of the following article

 

以下の論文の Theorem 3 に対して反例を与えています:

written by  Gon?alves and Spreafico in 2006:

 

Quaternionic line bundles 

over quaternionic projective spaces.

 

http://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou48/_10_goncalves-spreafico.pdf 

 

彼らが間違えて述べた定理は, 以下のとおり:

Following is the wrong theorem which they asserted:

 

「n 次元四元数射影空間 HP^n に対し, 

"For the n dimensional quaternionic projective space HP^n,

 

k を n-realizable integer とするとき,

k being the n-realizable integer,

 

 HP^n の degree k の self map の homotopy 類 の全体の基数 K(n, k) は, 

the cardinal K(n, k) of the homotopy classes of the self maps of HP^n

of degree k

 

k の偶奇と n にしか依存しない.」

depends only on n and the parity of k."

 

しかし, 私が与えた反例は, 以下のものです:

But I gave the following counter example:

 

「K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2.」

"K(5, 1) > K(5, 9) ≧ 2."

 

私の博士論文の Theorem 3 は, 本来博士課程在籍時に

The theorem 3 of my thesis was originally to be submitted

 

学術誌に投稿するべきものでしたが,

to academic journal when I enrolled in doctoral course,

 

校正が間に合わず, 投稿を見送った経緯があります.

but the proofreading process was not in time, 

I passed up the submission at that time.

 

当時の指導教授の先生から, 

But my adviser told me,

 

「君の博士論文は, 埋もれてしまっては具合が悪い. 

"If your doctoral thesis is buried, it will be so bad. 

 

アーカイブでも何でもいいから, 発表できないものか?」

Can you publish it at arXiv or ANYTHING?"

 

と言われていたので,

 

いつ, 他の研究者の方が参照されてもよいように, ここに公開しておきます.

So that I will publish it here in order to whenever other researchers

can refer to it.

 

(私には, アーカイブによる論文の発表の方法は, わからないのです.)

(I don't understand how to publish articles in arXiv.)

 

また、こちらは、私の博士論文の要約版です:

 

博士論文要約版

 

Theorem 3 について、証明のアウトラインをまとめております。

 

 

 

 

 

次に, ブルバキ数学原論, 多様体要約の補足ノート

Next, the supplementary notes of Elements de mathematique

summary of manifolds, Bourbaki.

 

http://yahoo.jp/box/NepP1w 

 

私は基本, 多様体論は, ブルバキを中心に勉強しました.

I studied theory of manifolds fundamentally by Bourbaki.

 

§1, §2, §6, §7 には, 完全な証明を与えています.

I gave the complete proof to  §1, §2, §6, and §7.

 

以前交流のあった学生さんで, ブルバキ多様体に興味を持たれて,

One student with whom I had mathematical interchanges 

was interested in the manifold of Bourbaki before,

 

私のノートと共に読まれてらした方がいらっしゃいます.

he read it with my notes.

 

ブルバキ多様体, 特に principal bundle (§6) や 

The manifold of Bourbaki, especially, the description of

principal bundle (§6) 

 

vector bundle (§7) の記述は,

and vector bundle (§7)

 

一般論の知識を速やかに手に入れることのできる, 優れたものです.

are very excellent ones by which you can get the knowledge of 

general theory immediately.

 

興味のある方は, 是非、お読みください.

If you are interested in them, please read them please.

 

 

 

 

 

 

次に, Stokes の定理のノート:

Next, the note of the Stokes' theorem.

 

http://yahoo.jp/box/9icJzA 

 

Stokes の定理の不毛なまでの一般化から解放されたい方は,

If you want to be released from generalization of 

Stokes' theorem up to barren,

 

このノートで一区切りの決着がつきます.

you can reach to the stanza of settlement.

 

ブルバキ多様体vector bundle や捩れ微分形式,

Because this note requires the knowledge of vector bundles

and twisted differential forms in manifolds of Bourbaki

 

ブルバキ積分論のベクトル値測度などの知識を仮定しますから,

and vector measures in the theory of integration of Bourbaki,

 

根気良くお読みください.

please read this patiently.

 

 

 

 

 

次に, 実解析多様体の部分多様体に関するノート:

Next, the note about submanifold of real analytic manifold.

 

Raising the differentiability class of 

Submanifolds of a Real Analytic Manifold

 

https://www.researchgate.net/publication/329610162_Raising_the_differentiability_class_of_Submanifolds_of_a_Real_Analytic_Manifold

 

実解析多様体 M の C^r 級部分多様体 N (r>0)に対し, 

It is the proof of that for any C^r class submanifold N (r>0) 

of a real analytic manifold M,

 

M の C^r 級自己同型 f が存在し,

there exists a C^r self diffeomorphism f of M

 

f(N) が M の実解析部分多様体になることの証明です.

such that f(N) becomes a real analytic submanifold of M.

 

但し, このノートでは, もう少し強いことを証明しています.

But I prove more stronger result in this note.

 

興味のある方は, 是非, ご覧ください.

If you interested in, please read this.

 

 

 

 

 

 

 

 

次に, 私が修士課程院生のころの数学基礎論自主ゼミの折に,

Next, this is the note of the voluntary seminar of elementary logic

which I wrote down and was used as text book 

when I was in master course. 

 

書き下ろしてメンバーのテキストとして使用したノート:

 

https://www.researchgate.net/publication/337655199_shulilunlixuerumen

 

第3章では, Mendelson の定理の一般化が述べられています.

In chapter 3, the generalization of the theorem of Mendelson

is asserted.

 

あと、不完全性定理.pdf では, ゲーデルの第一・第二不完全性定理

厳密に定式化されています. 

Further, in the pdf "mathematical logic 4", 

the first and second imcompleteness theorem of K. Godel

are formalized strictly.

 

http://yahoo.jp/box/HcOg5z 

 

この定式化では, 論理式のレヴィ階層が非常に重要です.

In this formalization, the Levy hierarchy of formulae

is very important. 

 

 

 

 

 

次に, コルモゴロフの「確率論の基礎概念」の間違いを指摘したノート

Next, the note which points out the error of 

"Fundamental notion of Provability Theory" of Kolmogorov.

 

https://www.researchgate.net/publication/329672912_korumogorofuquelulunnojichugainianniokeru_dinglinoyitsunofanli

 

amazon の書評でも, その間違いに触れています.

In the book review of amazon, I mention to the error, too.

 

 

 

最後に, 岩波基礎数学選書 「ホモロジー代数」の

At last, the note of pointing out the small error of

"Homological Algebra" of Iwanami's fundamental mathematical 

book collections.

 

小さなミスを指摘したノート

 

[ホ] - Google ドライブ

 

このミスについても, amazon の書評で触れています.

About this miss, I also mention it in the book review of amazon.

 

 

 

重要と思えるノートは, 以上です.

These are the important-seemed notes.

 

 

 

 

 

 

次に, 大学以上のレベルの数学を勉強するための参考文献を記した 

Next, I introduce the note of knowledge of references in order to

self-study mathematics of the level more than university.

 

ノートを紹介します.

 

まず, 集合論については, 以下の知恵ノートを参考にされてください:

At first, about set theory, please refer to following note: 

 

数学文献ノート ~ZFC 集合論入門~ 

 

次に, 学部レベルの数学の基礎については, 

Next, about fundamentals of the mathematics 

of levels more than faculty,

 

以下のノートを参考にされてください:

please refer to this note:

 

大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~ 

 

 

最後に, 代数トポロジー, ホモトピー論については, 

At last, about algebraic topology and homotopy theory, 

 

以下の知恵ノートを参考にされてください:

please refer to this note:

 

大学数学を独学するための参考文献 Part 2 ~ホモトピー論入門編~ 

 

 

 

 

 

最後に, 完全性定理, 不完全性定理についての解説についての

At last, I introduce the note which expounds 

the completeness theorem and the imcompleteness theorem

of Godel.

 

知恵ノートを紹介しておきます.

 

まず, 形式論理についての解説ノート:

At first, this is the note about formal logic.

 

(等号) 述語論理, 形式的体系のモデル, ゲーデル数についての解説 

 

 

そしてこれが, 完全性定理, 不完全性定理についての解説ノート:

Next, this is the note about the completeness theorem

and the incompleteness theorem.

 

完全性定理, 不完全性定理についての解説. 

 

この完全性定理や不完全性定理については, 

These completeness theorem and incompleteness theorem

are often misunderstood, 

 

大変誤解されることの多い定理なので,

 

解説ノートを書いた次第です.

so that I wrote down the note of expounding them.

 

 

 

 

 

案内は以上です. 

Here finish the guidance.

 

この記事に 0

継続は力なり

僕は 20歳の頃から数学の勉強を始めて、

 

今年で 48歳。

 

実に、28年も、継続的に、数学を勉強しています。

 

もちろん、数学といっても、大学以上のレベルの数学です。

 

 

 

数学系の学部や院に合計 7年間在籍し、博士号を取得したのは、

 

ほんのささやかな通過点に過ぎません。

 

 

 

継続は力なり。

 

今後も、続けていきたいと思います。

定礎な関係のノイマン級数

今回の数学エッセーでは, 定礎な関係のノイマン級数は再び定礎であるという定理を, ZF 内で証明します. 

 

E を 集合, R を E 上の定礎な二項関係, S を R から定まるノイマン級数とする. つまり, S は E 上の 2項関係で, xSy は, E のある有限列 x_0, … , x_n が存在し, 0 ≦ i < n に対して x_i R x_{i+1} かつ

x_0 = x かつ x_n = y なることとする. ここに, (x, y) ∈ R , (x, y) ∈ S を, それぞれ xRy, xSy と記述した. 

 

定理: この時, S は定礎となる. 

 

証明. 仮に, S が定礎でないと仮定して, 矛盾を導く. E の空でないある部分集合 A が, 任意の x ∈ A に対して y ∈ A が存在して, ySx となっていると仮定する.

 

B = {x ∈ E | (∃a ∈ A)(aSx)}

 

と置く. 仮定より, A ⊆ B である.

 

そこで, E は R に関して定礎だから, B は R-極小元 a を持つ. B の定義より, b ∈ A が存在し, bSa となる.

 

Case 1. bRa ならば, b ∈ A ⊆ B だから, a が B の R-極小元であることに反する.

 

Case 2. E の元の有限列 x_1, ・・・, x_n (n>0) が存在して

 

bRx_1 かつ x_1Rx_2 かつ… かつ x_{n-1}Rx_n かつ x_n Ra

 

となる時. この時, bSx_n で, x_n R a だから, x_n ∈ B かつ x_n R a となり, a が B の R-極小元であることに反する.

 

証明終わり.

 

この定理の通常の証明は, E に Sに関する無限下降列が存在すると仮定して矛盾を導くというやり方です. その時に, 通常, 従属選択公理を使います. 今回は, 従属選択公理を避ける形で, 証明してみました.

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)

一番ダメな勉強法

この世で一番ダメな勉強法はと言うと、

 

暗記そのものが目的となっている勉強です。

 

 

学問の勉強は、その学問の仕組みを理解しなくてはなりません。

 

暗記しなくちゃ、と思っている人は、

 

『暗記』というものから、離れた方がいいですね。

直交座標と極座標

仕事に役立てることを想定して、

 

私は現在、幾何公差の勉強もしています。

 

アマゾンで一冊本を購入して読んでいます。

 

 

その中で、幾何公差の許容域と言うのがあって、

 

二つの方式で表現できるとのこと。

 

つまり、直交座標系と極座標系。

 

懐かしいですね、物理学でも、もちろん数学でも、

 

この二つの座標系はよく使います。

 

 

 

3次元の場合も、直交座標系と極座標系はあります。

 

数学では、これを一般化して、n次元の直交座標系を定式化します。

 

きちんと載っている本はと言うと、

 

東大出版会から出ている解析入門でしょうか。

 

 

 

 

微分積分ヤコビアンの計算でも、

 

物理学で使うラプラシアンの計算でも、

 

極座標は良い計算練習となります。

 

 

 

 

文責: Dr. 加藤木 一好

520 の日

今日は、中国では恋人同士の記念日です。

 

プチ・バレンタインデーのような感じです。

 

以下は、we chat のタイムラインへの、彼女の投稿。

 

f:id:kazz-scw:20200520203444j:plain

520

中国語では、520 の発音が、I love you に似ているため、

 

5/20 が恋人同士の記念日となります。

 

そのほかにも、旧暦の 7/7  七夕バレンタインデーなど。

 

中国人の恋人を持つと、必然的に、異文化交流となります。

 

今年は、コロナの影響で、上半期には会いに行けないのが、

 

寂しいですね。

正則関数についての初歩

ある掲示板で, 次のような疑問を見かけました:

 

『C を複素数体,

f: C → C を, f(z) = |z|^2 で定義すると,

f は原点で Cauchy-Riemman の方程式を満たしているから, 

f は原点で正則と言えるのではないですか?』

 

 

いいえ, 正則関数というのは, 定義域全体で Cauchy Riemann の方程式を

満たす実全微分可能関数を言います.

 

逆に言えば, その定義域のある点では

Cauchy Riemann の方程式を満たし, 別のある点では

Cauchy Riemann の方程式を満たさないような実全微分可能関数は, 

正則とは言いません. それがルールです.

 

 

 

上記の例での関数 f は, 確かに, 原点で Cauchy Riemann の方程式を満たし, 

原点で複素微分可能ですが, C の原点以外の点では, Cauchy Riemann

の方程式を満たさないので, 複素微分可能ではありません.

 

 

従って, f: C → C は正則関数ではありません.

 

 

 

文責: Dr. 加藤木 一好