kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

2019-03-02から1日間の記事一覧

有理数であることも無理数であることも証明不可能な実数.

今回、ある掲示板で話題になっていた、 有理数であることも無理数であることも ZFC から証明不可能な実数を構成したいと思います。 もちろん、ZFC の無矛盾性は仮定します。 N を可算無限基数, M を最小の非可算基数とします。 ZFC の論理式 A(x) を、以下の…

π が消えた !

今回は、同じ太さの円柱 3本を互いに直交させてできる 立体の体積を求めたいと思います。 集合の記号で表すと, A = { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ y^2 + z^2≦1 かつ z^2 + x^2≦1 } なる A の体積を求めたい, ということです. まず注意として, B = { …

茨城大学理学部 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 について part 3

今回は、茨城大学理学部 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 とタイトルをつけましたが、この講義ノートの内容についての論説ではありません。 この講義ノートの参考文献として挙がっている、 [1] 「ベクトル解析入門」一松信著 についての話題です。 この…

茨城大学理学部 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 について part 2

今回も、2008 年度に茨城大学理学部で開講されたベクトル解析の講義ノート、 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 について、重要なことを論じます。 重要なことというのは、このノート、およびこのノートの参考文献 [1]「ベクトル解析入門」一松信著 で論じ…

茨城大学理学部 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版 について part 1

今回は、何回かに分けて、大学院時代の私の指導教授が 学部生向けに担当されていた、 ベクトル解析 2008 講義ノート詳細版について、 誤りの訂正と、証明の簡略化を少々行いたいと思います。 これをお読みの方で、実際に 2008年度、茨城大学理学部で、 ベク…

正方行列の同時対角化の問題

某質問サイトで見かけた問題ですが、 正方行列の同時対角化の問題について、ここで論じます。 ここでは、以下の定理を証明します。 定理 K を可換体、n > 1 を自然数, E = K^n, A_1, ..., A_k を End_K (E) の k 個の元で、そのどれもが対角化可能であり、 …

学術論文の間違いと撤回について

最近話題になっている、学術論文の内容の真偽、および撤回について、 ある程度の経験をした立場で、論じます。 話を簡単にするため、僕の専門の数学について、話題を限定します。 まず、学術論文が、学術誌に掲載されるプロセスからお話します。 数学の研究…

とりあえずの作業が終了

Yahoo ブログが, 今年の 12月にはもう, 廃止されるので, こちら, はてなブログに引っ越してきました. 数学上の記事で, 思い入れの深いものを, こちらへ移植しました. 移植の際に, Mac Book Pro で作業をしたのですが, 最初, ダッシュボード (管理画面) がど…

LJ に於ける, A ⇔ ¬A からの矛盾の証明. (排中律なしでの証明)

ある掲示板で話題になっていました. その掲示板での説明が, 私にはわかりにくかったので, 今回の数学エッセーでは, 論理式 A に対し, (A ⇒ ¬A) ∧ (¬A ⇒ A) から矛盾が導かれることの証明を, LJ で与えます. (A ⇒ ¬A) ∧ (¬A ⇒ A) を R と略記します. ここ…

ロビンソン算術からの論理式 ∀x∀y(x≦y∨y≦x) の証明不可能性の有限の立場での証明.

このノートでは、以下に定式化するロビンソン算術 N_1 から、 次の論理式が証明不可能であることを 有限の立場で証明する: ∀x(k_n≦x∨x≦k_n) ここに、k_n とは、超数学的自然数 n に対して、 N_1 の定数 0 の前に S を n 個並べたものである。 (k_n は n に…

統計的検定の考え方 〜統計ユーザーの立場で〜

ここでは、行動科学をはじめとする社会科学でよく使われる 統計的検定の、入門的な考え方を述べます。 医学・看護学でも、同様です。 統計用語を用いた学術的な説明を理解するための、第一歩です。 統計学の教科書と、読み比べてみてください。 では、そもそ…

区体論の ZFC に於ける正規モデルの構成.

このノートでは、ネットでは有名な区体論の、 集合論 ZFC 内での正規モデルを構成する。 但し、オリジナルの区体論に於いて「準関数」と呼ばれるものは、 わかりやすさの便宜のために、ここでは扱わない。 通常の数学のように、等号述語論理の上に、 区体論…

BGE 集合論 〜集合, 対象, 個体, クラス〜

このノートでは、集合論 BGE を少々書き直し、 クラスだけでなく個体も扱える理論体系にすることを目的とします。 E.J. Lemmon の公理的集合論入門という本があります。 そのなかで、数学で扱う対象を次のように分類しています: クラス・・・ものの集まり …

集合論 BGE の土台となる論理体系についての解説.

このノートでは、集合論 BGE の土台となる論理体系 についての解説を行う。基本的に、等号述語論理のマイナーチェンジ版である。 1. 形式的体系 Γ の構成 1.1. まず、Γ に必要となる記号に、どんな種類があるのか、列挙する。 1.1.1. 自由集合変数と呼ばれる…

生徒からのプレゼント

一昨日までで, 受験勉強の終わった生徒から, 『先生にはお世話になりました.』 と, プレゼントをいただきました. ラルフ・ローレンのタオルハンカチ 大切に, 使わせていただきます. Psoted by Kazuyoshi Katogi

完全性定理, 不完全性定理についての解説.

このノートでは、ゲーデルの完全性定理と 不完全性定理についての解説を試みる。 この解説は、完全性定理や不完全性定理の手短な理解には、 どれだけの数学的予備知識が必要か、それを明らかにすることが目的である。 この知恵ノートを通じて、読者の予備知…

(等号) 述語論理, 形式的体系のモデル, ゲーデル数についての解説.

このノートでは、述語論理と等号述語論理、 そして、形式的体系のモデル、そしてゲーデル数の定義 についての解説を行う。 これらの知識は、ゲーデルの完全性定理および不完全性定理 の理解のために、不可欠である。 完全性定理, 不完全性定理についての解説…

大学数学を独学するための参考文献 part 2 〜ホモトピー論入門編〜

大学数学を独学するための参考文献 Part. 2 です。 予備知識としての Part. 1 はこちら: 大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~ 大学初年級レベルの数学の知識をベースにこれから独学される方は、 Part. 1 から始めてください。 Part. 2 …

大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~

この数学知恵ノートでは、大学数学を独学するための参考文献を挙げます。 Part1 では、基礎知識編です。 順序は論理的な構成に従っていますが、僕の専門が幾何系だったので、 偏りはあります。予備知識として、教養または学部の一年で習う線形代数 (特に掃…

数学文献ノート / ZFC 集合論入門

このノートでは、集合論 ZFC をこれから勉強する人のために、 Book レビューを兼ねて、いくつか文献を紹介したいと思います。 もちろん、これがベストというわけではありません。 最終的には、各自、自分に合った本を選べば良いと思います。 本の順序は、私…

集合論 ZFC 入門 〜論理体系の種類〜

現代数学では、集合論 ZFC を基礎として、理論を展開しています。 もちろん、数学基礎論の分野では、様々な形式的体系が扱われますが、 その点は、私はあまり詳しくありません。 ここに、二冊、本があります。 ブルバキ「数学原論 集合論 vol.1, vol.2」 で…

集合論 ZF 入門 〜2項関係〜

集合論 ZF では、集合だけを研究の対象にすると考える人がいます。 でも、それはちょっと違います。 集合論を記述するための論理式。 この論理式も、研究の対象になります。 例として、二項関係を取ってみましょう。 例 1) 集合 E 上の同値関係 R この場合…

kazz の数学旅行記 / 総合案内板

kazz のブログ, 数学旅行記 の案内板です: [1] 私が出会って、この方から学問や人生に関して、多大な影響を受けた ミュージシャン、eliya に関する特設コーナーです: eliya ~ top end artist ~ [2] 数学について, kazz が自由な形式での意見を述べた, 数学…