kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

数学知恵ノート

フレッシェ微分の基礎理論の pdf の紹介

この知恵ノートでは、ブルバキ数学原論 多様体 要約 Chapter 1, 2 の補足ノートの紹介をします. (PDF) 微分多様体の基礎 1 google の方は、こちらです. 大まかな構成として, 微分可能関数の議論を, 係数体 K が離散でない付値体の場合に一般化します. つまり…

数理論理学入門〜定義による関数記号の導入の問題〜

やっと, できました. 数理論理学入門 数理論理学入門のテキストです. (12/1, 17:00 頃, ケアレスミスを修正しました.) (12/7. 保存拡大に関する, 追加の記述を多少付け足しました.) このテキストでは, 数学の基礎付けとしての等号述語論理を定式化し, 定義に…

数学の証明の無駄の省き方 (LK におけるカット消去)

この数学知恵ノートでは, 数学の証明の無駄の省き方について, 数学基礎論の立場で, 紹介します. ここでは, 例として ZFC の公理系について論じますが, 他の形式的体系についても同様です. 実は, 数学では, ZFC から命題 A を証明した時に, その証明に無駄が…

ロビンソン算術からの論理式 ∀x∀y(x≦y∨y≦x) の証明不可能性の有限の立場での証明.

このノートでは、以下に定式化するロビンソン算術 N_1 から、 次の論理式が証明不可能であることを 有限の立場で証明する: ∀x(k_n≦x∨x≦k_n) ここに、k_n とは、超数学的自然数 n に対して、 N_1 の定数 0 の前に S を n 個並べたものである。 (k_n は n に…

統計的検定の考え方 〜統計ユーザーの立場で〜

ここでは、行動科学をはじめとする社会科学でよく使われる 統計的検定の、入門的な考え方を述べます。 医学・看護学でも、同様です。 統計用語を用いた学術的な説明を理解するための、第一歩です。 統計学の教科書と、読み比べてみてください。 では、そもそ…

区体論の ZFC に於ける正規モデルの構成.

このノートでは、ネットでは有名な区体論の、 集合論 ZFC 内での正規モデルを構成する。 但し、オリジナルの区体論に於いて「準関数」と呼ばれるものは、 わかりやすさの便宜のために、ここでは扱わない。 通常の数学のように、等号述語論理の上に、 区体論…

BGE 集合論 〜集合, 対象, 個体, クラス〜

このノートでは、集合論 BGE を少々書き直し、 クラスだけでなく個体も扱える理論体系にすることを目的とします。 E.J. Lemmon の公理的集合論入門という本があります。 そのなかで、数学で扱う対象を次のように分類しています: クラス・・・ものの集まり …

集合論 BGE の土台となる論理体系についての解説.

このノートでは、集合論 BGE の土台となる論理体系 についての解説を行う。基本的に、等号述語論理のマイナーチェンジ版である。 1. 形式的体系 Γ の構成 1.1. まず、Γ に必要となる記号に、どんな種類があるのか、列挙する。 1.1.1. 自由集合変数と呼ばれる…

完全性定理, 不完全性定理についての解説.

このノートでは、ゲーデルの完全性定理と 不完全性定理についての解説を試みる。 この解説は、完全性定理や不完全性定理の手短な理解には、 どれだけの数学的予備知識が必要か、それを明らかにすることが目的である。 この知恵ノートを通じて、読者の予備知…

(等号) 述語論理, 形式的体系のモデル, ゲーデル数についての解説.

このノートでは、述語論理と等号述語論理、 そして、形式的体系のモデル、そしてゲーデル数の定義 についての解説を行う。 これらの知識は、ゲーデルの完全性定理および不完全性定理 の理解のために、不可欠である。 完全性定理, 不完全性定理についての解説…

大学数学を独学するための参考文献 part 2 〜ホモトピー論入門編〜

大学数学を独学するための参考文献 Part. 2 です。 予備知識としての Part. 1 はこちら: 大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~ 大学初年級レベルの数学の知識をベースにこれから独学される方は、 Part. 1 から始めてください。 Part. 2 …

大学数学を独学するための参考文献 Part 1 ~基礎知識編~

この数学知恵ノートでは、大学数学を独学するための参考文献を挙げます。 Part1 では、基礎知識編です。 順序は論理的な構成に従っていますが、僕の専門が幾何系だったので、 偏りはあります。予備知識として、教養または学部の一年で習う線形代数 (特に掃…

数学文献ノート / ZFC 集合論入門

このノートでは、集合論 ZFC をこれから勉強する人のために、 Book レビューを兼ねて、いくつか文献を紹介したいと思います。 もちろん、これがベストというわけではありません。 最終的には、各自、自分に合った本を選べば良いと思います。 本の順序は、私…

集合論 ZFC 入門 〜論理体系の種類〜

現代数学では、集合論 ZFC を基礎として、理論を展開しています。 もちろん、数学基礎論の分野では、様々な形式的体系が扱われますが、 その点は、私はあまり詳しくありません。 ここに、二冊、本があります。 ブルバキ「数学原論 集合論 vol.1, vol.2」 で…

集合論 ZF 入門 〜2項関係〜

集合論 ZF では、集合だけを研究の対象にすると考える人がいます。 でも、それはちょっと違います。 集合論を記述するための論理式。 この論理式も、研究の対象になります。 例として、二項関係を取ってみましょう。 例 1) 集合 E 上の同値関係 R この場合…