kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

区体論の ZFC に於ける正規モデルの構成.

このノートでは、ネットでは有名な区体論の、

集合論 ZFC 内での正規モデルを構成する。

 

但し、オリジナルの区体論に於いて「準関数」と呼ばれるものは、

わかりやすさの便宜のために、ここでは扱わない。

通常の数学のように、等号述語論理の上に、

区体論が形式化されているものとみなす。

(尚、南堂氏が「今井の形式化」として用いている記法:

♯X(A(X)) は、形式的には (∀X)(A(X)) で読み替えてかまわない。

♯も∀も、形式的には全く同じ役割だから。)

 

内容は、私が以前、2ch 数学板に投稿したものだが、

数学板が一時なくなったため、今回きちんとした

記録を残しておく意味で、Yahoo! 知恵ノートという場所を

お借りすることにする。

 

区体論は元来、南堂久史氏によって考案されたが、

それが集合論と比べてどうなのか?と言う視点では、

少なくともネット上ではあまり冷静な議論がなされていない。

 

この知恵ノートでは、もっぱら数学的な内容を紹介する。

集合論に比べて、区体論がどの程度の価値を持つのかは、

このノートをご覧頂いた読者の方各自が、

ご自分の学識に基づいて判断されると良いであろう。 

 

以下、特に断らない限り、集合論 ZFC 内で議論を進める。

 

Part 1 区体論の公理1~8, 10 の正規モデル。

 

定理1

E を任意の集合、F を E のべき集合とすると、

公理1~8, 10 の区体論の正規モデルの構造が、

F 上に定義される。

 

証明の概略(読者は、細部を自分でフォローできると思います。)

 

まず、モデルの領域は、F である。

E に適当な整列順序 ≦ を入れておく。

(ZF で考えるのであれば、E を適当な整列集合

・・・例えば、有限順序数または有限順序数の全体 ω としておけばよい。)

 

区体論における包含関係 A⊂B は

集合論における普通の包含関係:

「A は B の部分集合である。」で解釈し、

Ω は E で解釈し、 空区体 φ は空集合で解釈する。 

アトムは、E の一元部分集合で解釈される。 

等号は、ZF における等号で解釈される。

 

Ψ(x) をアトム変数の論理式とするときの論理式:

 

∀x ( Ψ(x)∧xはアトム ⇔ x@P ) 

 

を満たす区体 P は、Ψ(x) を満たす E の一元部分集合

x の全体の合併で解釈される。 

 

合併・共通分・差の解釈は、集合論における通常の通りとする。 

 

A∈F, A≠φ に対し、α(A)@A なるα(A) は、

E 上の整列順序 ≦ に関する A の最小元 a

に対する 1元集合 {a} とする。 

 

以上により、区体論の公理系 1~8、および 10 

は、F を正規モデルとして持つ。

 

証明終わり。

 

Remark 1:

 

定理 1 で、特に E を空集合とすることにより、上記の区体論からは、 

2個以上の対象の存在を証明することはできないことがわかる。 

 

即ち、我々の良く知っている ZFC集合論で証明可能な論理式 

(∃x)(∃y)(x≠y)

は、区体論の公理系 1~8, 10 からは証明できない。

 

さらに、E を空でない集合とすることにより、区体論の公理系 1~8, 10

からは、論理式 ¬(∃x)(∃y)(x≠y) も証明できないことがわかる。

 

即ち、論理式

(∃x)(∃y)(x≠y)

は、区体論の公理系 1~8, 10 からは、独立である。

よって、区体論の公理系 1~8, 10 は不完全である。

 

また、以上の議論から、集合論 ZF は区体論と同値ではなく、 

区体論の中に ZF の正規モデルを構成することが不可能なこともわかる。

 

Part 2: 公理 1~7, 9 を持った区体論の正規モデル M の構成

 

定理 2

集合論 ZF 内に、公理 1~7, 9 を持った

区体論の正規モデル M を構成できる。

さらに、M の任意の空でない元と M 自身は、

ZF 内で可算集合となるようにできる。

 

証明(概略)

 

まず、有限順序数から成る任意の集合 A に対し、

γ(A) を、A に現れる順序数で、偶数番目に現れるもの全体とする。 

 

すなわち、A の元を 小さい順に n(1), n(2), ・・・と表示したときの、 

n(2k) ( kは自然数 ) の全体を γ(A) とおく。

γ'(A) は、A における γ(A) の補集合とする。 

 

今、ω を有限順序数の全体とし、I(1) = {ω}とおく。 

ω の部分集合からなる有限集合 I(k) が、帰納的に k=n まで

定義されているとする。 

 

このとき、I(n+1) は、A∈I(n) に対する γ(A) の全体と、

A∈I(n) に対する γ'(A) の全体との合併とする。 

 

I を n が自然数の全体を動くときの I(n) の合併とし、 

M を I の元の有限個の合併(0個の元の合併は空集合とする)

の全体とする。 

 

ここで、モデルの領域を M とする。

(M 自体は、区体としては解釈されない。)

 

M の元の 区体論における包含関係は

集合論における包含関係に解釈し、

合併、共通部分、差もまた然り。

等号は、ZF における等号で解釈される。

Ω は ω で、空区体は空集合で解釈する。 

 

任意の A ∈ M に対し、A が空でないときに、

A を M の元である、互いに交わらない、空でない2つの集合

β(A) と β'(A) に分割できることを示さなくてはならない。 

 

M の作り方から、A は、I の元 A(1),..., A(n) で、

これらのどの有限個の合併も I に入らないようなものの

disjoint union として ( A(1),...,A(n) の順序を除いて )

一意に表せる。 

 

そして、β(A) は、γ(A(1)),...,γ(A(n)) の合併、 

β'(A) は、γ'(A(1)),...,γ'(A(n)) の合併とおけばよい。 

 

以上で M は公理 1~7, 9の正規モデルになる。

M の任意の空でない元と、M 自身が ZF 内で

可算集合になることは、その構成から明らかであろう。

 

証明終わり。

 

Remark 2.

 

上記モデル M は、一元集合を含まず、区体論における

アトムに相当するものも存在しない。

 

従って、区体論の公理 1~7, 9 からは、例えば次の二つの論理式は

証明不可能である(というよりも、否定証明可能である。):

(∃x)(∀y)( y⊂x ⇒ y=φ∨y=x )

(∃x)(∃y)(∃z)(x≠y∧y≠z∧z≠x

       ∧(∀w)( w⊂z ⇒ w=φ∨w=x∨w=y∨w=z ))

しかし、これらの論理式は、我々の良く知っている ZF集合論からは、

証明可能である。区体論の公理系 1~7, 9 が集合論に比べて

「病的である」と言われる所以は、ここにある。

 

Part 3: 公理 1~7, 9 を持った区体論による、無限集合の特徴づけ。

 

定理 3

集合論 ZFC 内で、任意の無限集合 E に対し、

公理 1~7, 9 を持った区体論の可算正規モデル

M を構成できて、Ω を E で解釈でき、

M の任意の元は E の部分集合とできる。

さらに、ZFC 内で、M の任意の空でない元と

E とは等濃となるようにできる。

 

証明(概略)

 

E は ZFC 内で整列可能だから、初めから E を基数として良い。

定理 2 とほぼ同じ構成方法である。

 

まず、E の任意の部分順序集合 A に対し、

γ(A) を、A に現れる順序数で、奇数番目に現れるもの全体とする。 

 

すなわち、ある順序数 α から A 上への順序同型

f:α→A を取ったときに(αは、A により一意に定まる)、

γ(A) := { f(β) | β∈α, βは奇順序数 }

とおく。

γ'(A) は、A における γ(A) の補集合とする。 

γ'(A) = { f(β) | β∈α, βは偶順序数または極限順序数 }

である。

 

今、I(1) = {E}とおく。 E の部分集合からなる有限集合 I(k) が、

帰納的に k=n まで定義されているとする。 

 

このとき、I(n+1) は、A∈I(n) に対する γ(A) の全体と、

A∈I(n) に対する γ'(A) の全体との合併とする。 

 

I を n が自然数の全体を動くときの I(n) の合併とし、 

M を I の元の有限個の合併(0個の元の合併は空集合とする)

の全体とする。 

 

ここで、モデルの領域を M とする。

(M 自体は、区体としては解釈されない。)

 

M の元の 区体論における包含関係は

集合論における包含関係に解釈し、

合併、共通部分、差もまた然り。

等号は、ZFC における等号で解釈される。

Ω は E で、空区体は空集合で解釈する。 

 

任意の A ∈ M に対し、A が空でないときに、

A を M の元である、互いに交わらない、空でない2つの集合

β(A) と β'(A) に分割できることを示さなくてはならない。 

 

M の作り方から、A は、I の元 A(1),..., A(n) で、

これらのどの有限個の合併も I に入らないようなものの

disjoint union として ( A(1),...,A(n) の順序を除いて )

一意に表せる。 

 

そして、β(A) は、γ(A(1)),...,γ(A(n)) の合併、 

β'(A) は、γ'(A(1)),...,γ'(A(n)) の合併とおけばよい。 

 

以上で、ZFC 内で M は公理 1~7, 9の可算正規モデルになる。

又、ZFC 内で、M の任意の空でない元が E と等濃であることは、

その構成から明らかであろう。

 

(実は、I の任意の空でない集合は、E の部分順序集合と見て、

E と順序同型である。γ(E) と γ'(E) は E に等濃だから、

(E が基数であることより)それらは E と順序同型である

ことに注意しよう。)

 

証明終わり。 

 

Remark 3:

 

E が有限集合のときは、明らかに定理 3 の最初の一文

を満たすような 正規モデルM は作れないから、

定理 3は、ZFC 内での無限集合の特徴付けになっている。 

 

つまり、定理 3 を大雑把に言うと、次のようになる:

 

ZFC 内で、集合 E が無限集合であるためには、

E=Ω としたとき、E が区体論 の公理系 1~7, 9

を満たすことが必要かつ十分である。 

 

このことは、区体論の公理系 1~7, 9 の ZFC における

解釈の一つと見做して良いであろう。

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi (加藤木 一好)

 

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