今回は、同じ太さの円柱 3本を互いに直交させてできる
立体の体積を求めたいと思います。
集合の記号で表すと,
A = { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ y^2 + z^2≦1 かつ z^2 + x^2≦1 }
なる A の体積を求めたい, ということです.
まず注意として,
B = { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ y^2 + z^2≦1 かつ z^2 + x^2≦1
かつ x ≧0 かつ y ≧0 かつ z ≧0 }
とすると, A の体積は, B の体積の 8 倍になります.
A は x, y, z に対して 対称だからです.
さらに、
C = { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ y^2 + z^2≦1 かつ z^2 + x^2≦1
かつ x ≧ y ≧ z ≧0 }
= { (x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2≦1 かつ x ≧ y ≧ z ≧0 }
とおくと, B は C の 6 倍の体積, つまり, A は C の 48 倍の体積になります.
そこで, C の体積を求めてみましょう.
|C| = ∫∫∫_C dxdydz
= ∫_[0, 1] dx ∫_[0, x] dy ∫_[0, y] dz f(x, y),
= ∫_[0, 1] dx ∫_[0, x] dy y f(x, y),
f(x, y) は 集合 { (x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≦ 1}
の特性関数となります.
(アンダーバーの [0, 1] とか [0, x] とかは, 積分区間です.)
よって, x = r*cos θ, y = r*sin θ と変数変換をすると,
|C| = ∫_[0, 1] rdr∫_[0, π/4] dθ r*sin θ
= ∫_[0, 1] r^2 dr∫_[0, π/4] sin θdθ
= [r^3/3]_{r = 0}^{r = 1} × [-cosθ]_{θ = 0}^{θ = π/4}
= (1/3) × (1 - (√2)/2)
となります. (ヤコビ行列式の r を忘れずに !)
よって,
|A| = 48 |C| = 16 - 8√2
となります.
ちなみに, この問題は, 僕が高校 3 年生の頃の定期テストで出題されて,
時間切れで解けなかったものです.
今回は見通しの良さから,
大学レベルの知識 ( 2次元極座標への変数変換) を用いて解きましたが,
その部分について言えば, 高校レベルの知識でも解けると思います.
意外なのは, 円柱を交差させて作った立体にもかかわらず,
体積にπが出てこないということですね.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
