ブルバキ数学原論 積分 vol.4, p.3, 補題 1 は, f が [-∞, +∞] に値を取る場合, b) の積分が意味を持たなくなる場合があります.
X = {0}, Y = Z = [0, 1] ∪ [2, 3] とし, Y, Z には R からの導入位相を与えます.
f : Z → [-∞, +∞] を f(t) = -∞, f(s) = + ∞ (t ∈ [0, 1], s ∈ [2, 3]),
u_x(y) = y for x ∈ X, y ∈ Y, μ をルベーグ測度の Y 上への制限
とした時に反例になります.
補題 1 が, f が [-∞, +∞] に値を取る場合にも意味を持つためには, f(u_x(y)) ∈ R
(for all x ∈ X, y ∈Y) とすればいいです.
文責: Dr. 加藤木 一好
