ブルバキ数学原論, 位相線型空間 vol.2, p.32, 命題4 で,
『u は M × F で連続であり』
と言う記述があります。
E, F, G は位相線型空間で, u : E × F → G は双線型写像なのですが,
実はこの記述の意味は
『任意の点 z ∈ M × F に対して u : E × F → G は点 z で連続』
と言う意味ではなく,
『制限: u|(M × F) : M × F → G は連続』
と言う意味です.
この二つの微妙な記述上の違いは, 下記の例にて明白にわかります:
f : R → R を, x が有理数の時は f(x) = 1, x が無理数の時は f(x) = 0
とすると,
『任意の x ∈ Q に対して f:R →R は点 x で不連続』
であり, なおかつ
『制限 f|Q : Q → R は連続』
となります.
ブルバキも, こう言う記述上の微妙な曖昧さがありますから,
注意して読まなくてはなりません.
文責: Dr. 加藤木 一好
