今回の数学エッセーでは、下記の問題について考えます:
U を R^2 の開集合, f : U → R を写像で, 任意の z ∈ U に対して
D_1 f(z) と D_2 f(z) が存在し, D_1 f , D_2 f : U → R は
点 a = (a_1, a_2) ∈ U に於いて連続とする.
この時, f は点 a ∈ U に於いて全微分可能となるか?
答えは Yes です.
証明: 任意に ε>0 を取る. b>0 を |z-a| ≦ b なる任意の z ∈ R^2 に対して
z ∈ U かつ
|D_i f(z) - D_i f(a)| ≦ ε
が成り立つようにする.
そこで, |h| ≦ b なる任意の h = (h_1, h_2) ∈ R^2 に対し, a+h ∈ U で,
有限増分の定理より,
|f(a+h) - f(a) - D_1 f(a)h_1 - D_2 f(a)h_2 |
≦ |f(a_1 + h_1, a_2 + h_2) - f(a_1+h_1, a_2) - D_2f(a)h_2|
+ |f(a_1+h_1, a_2) - f(a_1, a_2) - D_1 f(a)h_1|
≦ sup_{0<t<1}|D_2f(a_1+h_1, a_2 + th_2) - D_2f(a)|・|h_2|
+ sup_{0<t<1}|D_1f(a_1+th_1) - D_1f(a)|・|h_1|
≦ 2ε(|h_1| + |h_2|)
となるから, f は点 a ∈ U に於いて全微分可能である.
上記の問題は Yahoo 知恵袋の大学数学カテゴリーで見たのですが,
カテゴリーマスターの肩書きを持つある回答者が,
次の間違った解答をしておりました:
『答えは No である.』
証明:
f(x, y) = 0 for xy =0
f(x, y) = 1 for xy ≠ 0
a = 0
なる関数 f：R^2 → R と点 a がその反例である.
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実は, この f は, c ≠ 0 なる任意の実数 c に対して D_2 f (c, 0) と D_1 f (0, c)
が存在しないため, 問題の反例になっていません.
所詮 Yahoo 知恵袋はネットの怪しい掲示板で, そのカテゴリーマスターというのも, たとえそれが大学数学のジャンルであっても, 大学数学に関しては素人なのです.
文責: Dr. 加藤木一好
