kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

ルベーグの被覆補題の一様空間バージョンの ZF のもとでの証明

今回の数学エッセーでは, ルベーグの被覆補題の一様空間バージョンを,

 

ZF の下で証明します.

 

 

 

 

補題: X をコンパクト一様空間, S を X の対称開近縁の全体,

 

A を X の開被覆とすると, A の有限個の元 U_1, ・・・, U_n と W ∈ S が存在し, 

 

任意の x ∈ X に対し, W(x) = { y ∈ X | (x, y) ∈ W } が, 

 

ある U_i ( 1 ≦ i ≦ n ) に含まれる.

 

(X がコンパクトとは, X の任意の開被覆が, 有限部分被覆を持つことと約束する.)

 

 

 

証明.

 

B = { K | ( ∃ x ∈ X) ( ∃ V ∈ S ) ( ∃ U ∈ A ) ( V^2 (x) ⊆ U & K = V(x) ) }

 

と置く. ここに,

 

V^2 = { (z, w) ∈ X × X | ( ∃ t ∈ X ) ( (z, t) ∈ V &  (t, w) ∈ V ) } ∈ S 

 

である.

 

 

さて, B は明らかに X の開被覆だから, n ∈ N と 

 

X の n 個の点 x_1, ・・・, x_n と

 

S の n 個の元 V_1, ・・・, V_n と 

 

A の n 個の元 U_1, ・・・, U_n が存在し, 

 

( V_i )^2 (x_i) ⊆ U_i ( 1 ≦ i ≦ n ) 

 

かつ 

 

V_1 (x_1) ∪ ・・・∪ V_n (x_n) = X

 

となる. この時, 

 

W = V_1 ∩・・・∩ V_n

 

が問いに答える近縁である.

 

実際, 任意の x ∈ X に対し, ある i ( 1 ≦ i ≦ n ) が存在し,

 

x ∈ V_i (x_i) 

 

となるので, 

 

W(x) ⊆ V_i (x) ⊆ ( V_i )^2 (x_i) ⊆ U_i

 

となり, 補題は証明された.

 

 

 

 

参考文献

 

一様空間論, 近縁という用語については, N. Bourbaki 数学原論 位相 Chapter 2 を参考のこと.

 

また, この補題のオリジナルの証明を初めて見たのは, twitter にリンクのあった,

 

箱(@o_ccah) さんの pdf です. ここに, オリジナルの出典を明らかにしておきます.

 

ただし, その pdf では, 選択公理を使っていましたので, この数学エッセーでは,

 

今回, 選択公理なしの証明を与えてみました.

 

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi