今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の問題を扱います.
問題. X, Y を集合とする時, Y∩Z = φ かつ双射 f: X → Z が存在するような
集合 Z の存在を示せ.
回答: X が有限集合 {a_1, ..., a_n} の時は, n に関する帰納法により,
Y ∪ {b_1, ..., b_k} に属しない元 b_{k+1} を取り,
f : {a_1, ..., a_{k+1}} → {b_1, ..., b_{k+1}} を f(a_i) = b_i で定めれば良い.
X が無限集合の場合は, W = Pw(X∪Y) (X∪Y の冪集合) と置くと,
W-(X∪Y) ⊆ W-Y
かつ card(W-(X∪Y)) = card(W) > card(X)
だから, Z ⊆ W-(X∪Y) と双射 f : X → Z が取れる.
この Z, f が所要のものである.
上記証明では, 選択公理を使ったが, 選択公理の代わりに正則性公理を使うと,
もっとシンプルに証明できる.
Z = X × {Y} とすると, 双射 f : X → Z の存在は明らかで,
Z∩Y = φ である. 実際, a = (b, Y) ∈ Z∩Y とすると,
Y ∈ {b, Y} ∈ a ∈ Y
となり, 正則性公理に反する.
文責: Dr. 加藤木 一好
