kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

標準的に同型, 標準的な同型 と言う概念

今回の数学エッセーでは, 数学の本や論文によく現れる,

 

「標準的に同型」ないしは「標準的な同型」

 

と言う用語について解説したいと思います.

 

 

 

 

 

 

「同型」と言う言葉だけならば私たちは即座に,

 

誤解を伴わずに理解できますが,

 

これに「標準的に」または「標準的な」という修飾語がつくと,

 

曖昧でわかりづらいですね.

 

 

 

 

 

 

僕は今までたくさんの数学書を読んできましたが,

 

その中で, ブルバキ数学原論の代数の第2章に,

 

「標準同型」と言う言葉がたくさん現れます.

 

この章は線型代数の章で, 例えば和訳の方ですが,

 

p.127 には, 標準同型が三つ, 定義されています.

 

 

 

 

ここで, 同型写像の定義を与えさえすれば標準的と呼んでいいか,

 

となると, ブルバキの著書でもそれは否定的です.

 

例えば代数 第 7 章(和訳の第 5 巻)p.81 の命題 8 で,

 

D(M) は M に同型であり, とありますが,

 

その但し書きで,

 

「この同型は一般的には, 標準的なものではない

 

と明白に書いてあります.

 

 

 

 

 

では, 標準的に同型(標準的な同型)とはなんだろうか,

 

と言う疑問が湧いてくるわけで,

 

次の問題が出てくるわけです:

 

「ある数学的構造種 Σ を固定し,

 

種 Σ の構造の与えられた二つの集合 E, F

 

が標準的に同型であるとは,

 

E と F の間にどのような同型写像が存在するときか?」

 

 

 

 

 

 

 

 

 

実は, ブルバキ数学原論では, この問いには答えていません.

 

読者に対して「空気読め」「忖度しろ」と言う態度なのでしょうね.

 

 

 

 

 

 

しかし, ブルバキの著書をよく読むと,

 

与えられた写像なり同型写像がどのような時に標準的なのか,

 

ある一定の法則性があることに気づきます.

 

 

 

 

 

 

二つ, 例をあげましょう.

 

K を可換体, E を K 線型空間,

E^* を E の双対,

E^{**} を E^* の双対とする.

 

A を K 線型空間と K 線型写像からなる圏, とする.

B を 有限次元 K 線型空間と K 線型写像からなる圏, とする.

 

A から A への二つの関手 G, G' を次のように定める:

 

G は A から A への恒等関手,

 

A の対象 E, F, 

E から F への A における射 f に対し, 

G'(E) = E^{**},

G'(f) (u) (v) = u (v \circ f )

for u ∈ E^{**}, v ∈ F^*

 

とおく.

 

この時, ブルバキでは, B の任意の対象 E に対して

G'(E) は再び B の対象で, G(E) = E と G'(E) 

は標準的に同型であるとしています.  

 

この時の標準的な同型 c_E : E → G'(E) は, ブルバキでは,

B の任意の対象 E と x ∈ E, v ∈ E^* に対し,

C_E (x) (v) = v (x)

とおくことにより, 定義されています.

 

ここで大事なのは c_E の持つ自然性で,

f : E → F を有限次元 K 線型空間の間の K 線型写像

とするとき, 次の図式が可換になります:

 

 

               c_E

 

       G(E)   →    G'(E)

 

  G(f) ↓              ↓G'(f)

 

       G(F)   →    G'(F)

 

                c_F 

 

 

つまり, E \mapsto c_E

は, B から B への関手とみなした時の

G, G' の間の自然同値なのです. 

 

この自然変換の性質も, ブルバキにはきちんと書いてあります.

 

 

 

 

 

 

二つ目の例:

 

やはり, ブルバキの代数第 2 章からの引用です.

 

簡単のために, K を可換体, A を有限次元 K 線型空間

K 線型射像からなる圏, A* を A の双対,

すなわち A* の対象は A の対象と同じで,

A* の射は, A の任意の射 f : E → F に対し,

f を A* に於ける F から E への射とみなします.

 

A* × A × A* × A から A への関手 B, C を

 

(E, F, G, H) を A* × A × A* × A の対象とするとき,

B(E, F, G, H) = Hom_K (E; F) (×) Hom_K (G; H),

C(E, F, G, H) = Hom_K ( E (×) G ; F (×) H ),

 

ここに, (×) は K 線型空間テンソル積,

 

f ∈ Hom_K (E; F), g ∈ Hom_K (G; H)

に対し, f○g ∈ Hom_K ( E (×) G ; F (×) H) を

x∈E, y∈G に対し,

(f○g) ( x (×) y ) = f(x) (×) g(y) で定義し,

 

A* × A × A* × A の任意の射 

(e, f, g, h) : (E, F, G, H) → (E', F', G', H')

に対しては

b = B(e, f, g, h), c = C(e, f, g, h) は

b( j (×) k ) = ( f \circ j \circ e ) (×) ( h \circ k \circ g ),

c(v)= ( f○h ) \circ v \circ ( e○g )

 

for j ∈ Hom_K ( E ; F ), k ∈ hom_K ( G ; H ), 

v ∈ C(E, F, G, H)

 

で定義します.

 

そうすると, 任意の j ∈ Hom_K ( E ; F ), k ∈ Hom_K ( G ; H ) に対し,

j (×) k を j ○ k に移す, B(E, F, G, H) から C(E, F, G, H) への

ただ一つの K 線型写像 T_(E, F, G, H) は, 

B(E, F, G, H) から C(E, F, G, H) への

標準的な同型を定めます.

 

この場合の「標準」の意味も,

(E, F, G, H) \mapsto T_(E, F, G, H)

が B から C への自然同値になっているということです.

 

つまり, A* × A × A* × A の任意の射 f : X → Y に対し,

以下の図式が可換になると言うことです:

 

 

 

                T_X

 

       B(X)   →    C(X)

 

  B(f) ↓             ↓C(f)

 

       B(Y)   →    C(Y)

 

                T_Y

 

 

 

 

つまり, 標準的に同型と言う考え方の意味するところは,

 

(単にある構造を持った二つの集合の間の同型写像

定義すればいいということではなく)

 

「ある構造を持った集合の圏 C から 別の構造を持った集合の圏 D

への二つの関手 G, F が与えられたとき, 

任意の X ∈ C に対して G(X) と F(X) が「標準的に同型」であるとは,

G と F の間の自然同値 μ が存在することである.」

 

ということになります.

 

(「集合」を「関手」で,「同型」を「自然同値」で

置き換えればいいのです.)

 

この時, 任意の X ∈ C に対して, 圏 D における同値射

 

μ_X : G(X) → F(X)

 

のことを, 我々は, 

 

「G(X) から F(X) への標準的な同型」

 

と呼んでいるのです.

 

ここで, G とか F は数学上取り扱う問題の解決のための道具としては,

ケースバイケースですが, 様々な関手が比較されます.

上にあげた例の他に, 僕の専門の代数トポロジーから

基本的な例を一つあげます:

 

K を単体複体対と単体写像からなる圏,

関手 H を整数係数の単体ホモロジー理論,

H' を整数係数の特異ホモロジー理論とし,

H' を K に制限したものを G とします.

 

そうすれば, 任意の単体複体対 (A, B) と 任意の自然数 p に対し,

H_p (A, B) と G_p (A, B)

は「標準的に同型」となるわけですが,

その意味するところは,

H から G への自然同値が存在する, ということです.

(よく知られたように, その自然同値は, 

H, G の boundary operator とも可換になるように

定義されています.)

 

つまり, H, G を K から可換群の圏への関手と見た時,

H と G は自然同値だということです.

 

最近では, 「標準的に同型」と言う言い回しを使わないで,

「自然に同型」と言う言葉を使う本が多いと思います.

 

「標準的な同型」と言う用語についても同様で,「自然な同型」

と言う用語に置き換わっていると思います.

 

岩波基礎数学選書で, 服部晶夫先生の「位相幾何学」でも, 

「自然に同型」

と言う言葉を使っていますが, それは自然同値の意味です.

 

こういう, 二つの関手の比較は, 

代数トポロジーにおいて, 頻繁に行われています.

 

 

 

 

 

 

もちろん, じゃあ, 一般的に, 

「二つの関手としてどのようなものを選べばいいのか?」

という疑問を呈する人もいますが,

それは全く別の問題であり,

標準的に同型と言う考え方の大事なところは,

数学の問題を扱う際の道具としての関手を

適切に選ぶための方法論を提示しているのではなく,

数学の問題上, 二つの関手が出てきた時,

それらの間に自然同値が定義できるかどうか

と言うことを問題視する立場が重要なのです.

 

もし一般に, 数学の問題に応じて

どのような関手を道具として選べば適切であるか,

その方法論が発見されれば,

それは世紀の大発見となるでしょう.

 

 

 

 

 

 

この点については, 圏や関手だとわかりづらいので, 

集合論の言葉で置き換えれば, 次の例があります.

 

集合論では, 濃度について, 次のような定式化があります:

 

E, F を二つの集合とする時,

E と F の間に全単射が存在する時に,

E と F は等濃であると言う.

 

ここでももちろん, 等濃と言う概念の大事なところは, 

数学の問題上, 二つの集合が出てきた時に,

それらの間に全単射が存在するかどうかを

問題視する立場が重要なのであり,

一般論として, 数学の問題を扱う際に

道具としてどのような集合を選べば良いかについて,

その方法論を提示しているものではないのです.

 

もちろん, 数学の一般論として,

数学の問題を解決する際に,

道具としてどのような集合を選べば適切であるのか,

その方法論が発見されれば,

それはもはや関手どころではなく, 人類未曾有の大発見となるでしょう.

 

以上で標準的に同型, 及び標準的な同型と言う用語について,

僕なりの解説を終わります.

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi