Q 上に R 線型空間構造はつくか?

今回の数学エッセーでは, Yahoo 知恵袋で見た, 次の質問について論じます.

『Q 上に R 線型空間構造はつきますか？』

答え: つきません. 仮に、Q 上に R 線型空間構造がつくと仮定すると, 

その線型空間構造に関して 0 でない Q の元 a を取ると,

Ra ⊆ Q

となり, Ra は連続濃度, Q は可算濃度となり, 矛盾する.

文責: Dr. 加藤木 一好