今回は、ZF 集合論から置換公理を除いた形式的体系 Z からは、
順序数 ω+ω の存在が証明不可能であることを示します。
以下に、証明のアウトラインを述べます。
まず、Z に於いては、順序数の概念は、
ZF 同様、次のようにして定式化されます。
x が順序数である
⇔ (∀y∈x)(∀z∈y)(z∈x) and (∀y∈x)(∀z∈x)(y∈z or z∈y or y=z)
これは、Δ_0 論理式です。
任意の順序数 x の整列性も、Z に於いて、正則性公理を用いて証明されます。
次に、ZFの時と同様、
x が順序数であるならば、x の"次"の x∪{x} も順序数である
と言う命題も、Z から証明できます。
次に、ZF の時と同様、
y = ω ⇔ y は順序数で、(∀x∈y)(x = 0 or (∃z∈x)(x=z∪{z}))
という論理式によって、無限公理により、
Z に於いて、最小の無限順序数 ω の存在が証明されます。
次に、ω と ω の順序和の集合 A を考えます。
A と順序同型になるような順序数 x の存在が
Z において証明されたとすると、
x ∈ R(ω+ω), かつ x = ω+ω ( ∈ R(ω+ω+1) - R(ω+ω))
が、ZF に於いて証明されるので、矛盾します。
ここでは、R(ω+ω) が Z のモデルであることが、
ZF に於いて証明可能であることを用いています。
このことより、形式的体系 Z に於いては、
任意の整列集合 a に対し、a と順序同型な順序数 b
の存在が、必ずしも証明されるわけではない、
ということがわかります。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
