kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

数理論理学入門 テキスト

数理論理学のテキストを更新しました:

 

数理論理学入門

 

このテキストの一番大きなテーマは, 定義による関数記号の導入が,

 

どのような場合に元の形式的体系の保存拡大になっているか

 

という問題です.

 

 

今回の追加分は, 保存拡大についてよく知られた結果や

 

スコーレム関数の導入が保存拡大になるかという問題,

 

そして, 理論への代入法則の具体例に関する記述です

 

 

 

 

保存拡大という用語は, 数学基礎論専攻の方以外の方にとって

 

聞き慣れないかもしれませんが, LK LJ のカット消去定理も

 

ある意味で, 保存拡大に関する結果の一つと言えます

 

そのほかにも, 述語論理は命題論理の, 等号述語論理は述語論理の,

 

それぞれ保存拡大になっていることは, よく知られた事実です

 

あとは, BGE ZFC の保存拡大になっているという超数学的定理も有名です.

 

 

 

 

一方, 形式的体系へのスコーレム関数の導入は, 一般には,

 

保存拡大にはなっておりません.

 

ZF がその反例です.

 

, 特別な場合については, 肯定的な結果があります

 

 

 

 

理論への代入の具体例は, 直観的には明らかですが

 

定式化は厳密に行わなくてはならないため

 

あえて, 具体例を出しました

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi