更新しました. section 20, テイラーの公式の定式化です.
係数体は R or C です.
定式化には 3種類あって, U が ノルム空間 E の開集合, F が分離多ノルム空間の時,
[1] f : U → F が n 回微分可能で D^n f が 点 a ∈ U において微分可能な場合
[2] f: U → F が n 回微分可能な場合.
[3] f : U → F が C^{n+1} 級の場合
の場合です.
[1] の場合が, best possible な条件で,
z = f(a+h) - f(a) - Df(a)(h) - ・・・- D^{n+1}f(a)(h^{n+1})
は, h → 0 の時, || h || に関して接触次数 > n となります.
この性質が最も使いやすく, 私は [1] の場合のテイラーの公式を,
ロピタルの定理の代替え品として, よく使っていました.
(ロピタルの定理は, 私には使いづらいです.)
[2] の場合は,
z = f(a+h) - f(a) - Df(a)(h) - ・・・- D^n f(a)(h^n)
と置いた時, 有限増分の公式の拡張ともいえる不等式:
|| z ||_q ≦ || h ||^n sup _{0 < t < 1} || D^n f(a + th) - D^n f(a) ||_q
が成り立ちます. ここに, q は F の任意の連続半ノルムです.
[3] の場合は,
z = f(a+h) - f(a) - Df(a)(h) - ・・・- D^n f(a)(h^n)
と置いた時,
z = (1/(n!)) ∫_[0, 1] (1-t)^n D^{n+1} f(a + th) (h^{n+1})
と, 具体的な式で書けます.
ここで, [3] の場合, z はリーマン和の極限として定義されます.
この辺りの議論は, 積分論や一般位相にまで踏み込みます.
積分論のノート の section 3.1
と
一般位相のノート の section 3.26
に, 必要事項の定式化があります.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
