最近, こんな問題を見ました： 『f : R^2 \to R を, f(0)= 0 で, f(z) ≠ z for all z ∈ R^2 - {0} なる連続写像とする時, f(z)> 0 for all z ∈ R^2 - {0} もしくは, f(z)<0 for all z ∈ R^2 - {0} のどちらかが成り立つことを示せ.』 証明には, 中間値の定理…

今回の数学エッセーは、比較的シンプルなものとなります。 『完全性定理を応用した定理は、何がありますか？』 こんな質問を見かけました。 この答えには、重要なものがあります。 BGE が ZFC の保存拡大になっていることの超限的証明が、 それです。 完全性…

解析学のネタです。 某掲示板で、こんな質問を見かけました。 R 上の実数値ルベーグ可積分関数列 (f_n) に、 ルベーグ可積分な優関数 g が存在し、 各点 x ∈R に対し、極限 lim _{n→∞} f_n(x) = f(x) が存在するとき、 f(x) は再びルベーグ可積分となり、 ∫ …