ルベーグ積分についてのある質問

解析学のネタです。

某掲示板で、こんな質問を見かけました。

R 上の実数値ルベーグ可積分関数列 (f_n) に、

ルベーグ可積分な優関数 g が存在し、

各点 x ∈R に対し、極限 lim _{n→∞} f_n(x) = f(x) が存在するとき、

f(x) は再びルベーグ可積分となり、

∫ f(x) dx = lim _{n→∞} ∫ f_n(x) dx

となるが、このとき、一般に、関数列 f_n(x) の一様有界性は導かれるか？

答えは否定的で、例えば、 

f_n (x) = n for 0≦ x < 1/(n^3)

f_n (x) = 0 ow,

g(x) = sup _{n=1}^∞ f_n(x)

f(0) = +∞

f(x) = 0 for all x∈R-{0}

と置けば、反例になります。

ちなみに、この関数列 (f_n) については、

sup{ ||f_n||_∞ : n∈N} = ∞

ともなります。

さらに、f_n(0) = n だから、

(f_n) は、各点有界ですら、ありません。

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi