解析学のネタです。
某掲示板で、こんな質問を見かけました。
各点 x ∈R に対し、極限 lim _{n→∞} f_n(x) = f(x) が存在するとき、
∫ f(x) dx = lim _{n→∞} ∫ f_n(x) dx
となるが、このとき、一般に、関数列 f_n(x) の一様有界性は導かれるか?
答えは否定的で、例えば、
f_n (x) = n for 0≦ x < 1/(n^3)
f_n (x) = 0 ow,
g(x) = sup _{n=1}^∞ f_n(x)
f(0) = +∞
f(x) = 0 for all x∈R-{0}
と置けば、反例になります。
ちなみに、この関数列 (f_n) については、
sup{ ||f_n||_∞ : n∈N} = ∞
ともなります。
さらに、f_n(0) = n だから、
(f_n) は、各点有界ですら、ありません。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi