今回は, Yahoo 知恵袋にあった, 以下の質問について, 取り扱います.
f : [0, +∞[ → R が C^1 級で単調減少,
lim _{x → +∞} f(x)
が存在するとき,
lim _{x → +∞} Df(x) = 0
となるか?
ここでは, f が狭義単調減少の場合の反例を手短に構成してみます.
g : [0, +∞[ → R
を, 非負整数 n に対し,
g(n + ( 1 / ( 2^{n+2} ) ) ) = -1,
g(x) = 0 for n + ( 1 / ( 2^{n+1} ) ) ≦ x ≦ n + 1,
残りの点では g がアフィンなるように定義すると,
g は連続であり,
f(x) = ( 1 / ( x + 1 ) ) + ∫_0^{x} g(x) dx
とおくと,
f は狭義単調減少かつ C^1 級で,
x → + ∞ のとき,
f(x) → -1
であるが,
Df(x) = ( -1 / ( ( x + 1 )^2 ) )+ g(x)
は x → + ∞ のとき, 振動するので, 極限を持たない.
よって, この f が反例となる.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
