最近, こんな問題を見ました：
『f : R^2 \to R を, f(0)= 0 で, f(z) ≠ z for all z ∈ R^2 - {0}
なる連続写像とする時, f(z)> 0 for all z ∈ R^2 - {0}
もしくは, f(z)<0 for all z ∈ R^2 - {0}
のどちらかが成り立つことを示せ.』
証明には, 中間値の定理を使うのですが,
見通しの良いやり方があります.
帰謬法で示す.
仮に, あるベクトル z_1, z_2 ∈ R^2 - {0}
が存在し, f(z_1) < 0 かつ f(z_2) >0 となるならば,
f は R^2 - {0} 上連続で, R^2 - {0} は連結集合だから,
f による R^2 - {0} の像 A は, R 内の連結集合である.
R の部分集合で連結なるものは、全て区間であるから,
A は R の区間である.
f(z_1), f(z_2)∈ A だから, 区間
[f(z_1), f(z_2)] は A の部分集合である.
一方, 0 ∈ [f(z_1), f(z_2)] だから,
f(z_3) = 0 なる z_3 ∈ R^2 - {0}
が存在することになり, これは仮定に反する.
証明終わり.
重要な点は, R の部分集合が連結になるための必要十分条件は,
その集合が区間であること,
そして, 連結集合の連続写像による像は, 連結になること.
この二つです.
特に, 前者の性質は, general toplogy の基本的な結果です.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
