今回の数学エッセーでは,『点列完備』なる概念を一般化することを考えます.
詳しいことは, 以下の pdf の section 3.23 に掲載されています.
一様空間 X が点列完備であるとは, X 内の任意のコーシー列が収束することでした.
そこで, この『点列』を使った定式化を, もっと一般のフィルターに基づいてできないか,
というのが今回の主題です.
以下の定義を置きます:
A を集合, F を A 上のフィルターとする.
集合 B 上のフィルター G が F 型 であるとは, 写像 f : A → B
が存在し, G が B 上のフィルター基底 f(F) から生成されることを言う.
一様空間 X が F 完備であるとは, X 上の任意の F 型フィルター G が,
X 内で収束することを言う.
この定式化のもとで, 自然数の全体 N 上のフレッシェフィルター F_0 を考えると,
集合 B 上の F_0 型フィルターとはちょうど, B 内の点列に対応するわけです.
上記の pdf の section 3.23 では, F 型フィルターの概念を系統的に定式化しています.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
