整列可能定理・ツォルンの補題の証明に必要な公理

今日の数学エッセーでは、以下の文献の中から、

選択公理から整列可能定理とツォルンの補題を導く際、

ZF のどれだけの公理が必要かを紹介します。

公理的集合論研究書

結論を言ってしまえば、等号述語論理の公理系に加え、

[1] 外延性の公理

[2] 対の公理

[3] 分出公理シェーマ

[4] 冪集合の公理

[5] 選択公理 (これはもちろん必要ですね)

です。合併の公理, 置換公理や無限公理、そして、正則性公理は必要ありません。

最近の基礎論の勉強では、逆数学の入り口みたいなことをやっていますが、

結構面白いものです。

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi