今回は, 高校で習う指数関数, 対数関数の微分を,
大学数学側から眺めてみます.
高校生向けのエッセーですから,
指数関数の定義にまつわる難しい議論はせず,
以下の性質を直感的には明らかであろうと言う理由で,
公理として認めます.
以下, a>0 は 1 以外の正の数とします.
[1] 写像 f : R → ] 0, ∞ [, f(x) = a^x は,
実数の全体から正の実数の全体 ] 0, ∞ [ への
位相同型であり, 底 a の対数 log _a (y)
は, f の逆関数である.
[2] 任意の x, y ∈ R に対し,
a^( x + y ) = ( a^x ) ・ ( a^y )
が成り立つ.
以上の公理からすぐにわかることとして,
a^0 = 1,
a^( -x ) = 1 / ( a^x )
などが挙げられます.
今回のエッセーの目的は, 次の定理です:
定理 1
実変数関数 f ( f (x) = a^x ) は任意の点
x ∈ R において微分可能で,
その微分係数は
Df(x) = ( Df(0) ) ・ f(x)
で与えられる.
証明
Bourbaki 数学原論, 実1変数関数 vol. 1,
pp.89-90 の議論に習う.
b>0, x ∈ R に対し,
g_b (x) = ∫_[0, b] f(x+t) dt = f(x) ∫_[0, b] f(t) dt
とおく.
f(0) = 1 で, 仮定より f は連続であるので,
b>0 が十分小さければ,
| f(t) - 1| < 1/2
for t ∈ [0, b]
となる.
したがって,
| (1/b) ∫_[0, b] f(t) dt - 1 |
≦ (1/b) ∫_[0, b] | f(t) -1 | dt
≦ 1/2
となるので,
(1/b) ∫_[0, b] f(t) dt ≧ 1/2 > 0
となり,
c = ∫_[0, b] f(t) dt > 0
となる.
したがって,
f(x) = g_b (x) / c
と書けるので, g_b (x) が任意の実数 x において,
微分可能であることを示せば良い.
g_b (x) = ∫_[0, b] f(x+t) dt において,
変数変換 x + t = u を行えば,
g_b (x) = ∫_[x, x+b] f(u)du
となるので, f の連続性と, 微分積分学の基本定理より,
g_b (x) はすべての実数 x に対して微分可能で,
D g_b (x) = f(x+b) - f(x)
= f(x) ・ f(b) - f(x)
= ( f(b) - 1 ) f(x)
となる.
これより,
Df(x) = c^{-1} Dg(x)
= c^{-1} ( f(b) - 1 ) f(x)
となり,
特に,
Df(0) = c^{-1} ( f(b) - 1 ) f(0) = c^{-1} ( f(b) - 1 )
だから,
Df(x) = ( Df(0) ) f(x)
が得られた.
証明終わり.
さて, a>0 に依存して決まる数
Df(0) ( f(x) = a^x )
を決定しよう.
ここでも, Bourbaki 数学原論, 実1変数関数, vol.1, p.90
の議論を引用する.
a^x = f_a (x) と書くことにして,
Df_a (x) = h(a) f(x), h(a) = Df_a (0)
と書ける.
1 とは異なる正の実数 a, b に対し,
f_b (x) = b^x = a^( ( log_a (b) ) x )
= a^( x log_a (b) )
だから,
Df_b(x) = ( log_a (b) ) h(a) a^( x log_a (b) )
= log_a(b) h(a) b^x
= h(b) b^x
となる.
ここに, b^x > 0 だから,
h(b) = log_a(b) h(a)
を得る.
ここから, b を動かすことにより,
(f_a は定数関数ではないので
h(a) ≠ 0 だから,)
h(b) = 1 となる b がただ一つ存在することがわかる.
実際, e = a^{ 1/h(a) } と置けば
h(e) = ( log_a ( a^{ 1 / h(a) } ) ) h(a)
= ( 1 / h(a) ) h(a)
= 1
となるので, この e が所用の物である.
よって, この e に対し,
Df_e(x) = f_e(x) = e^x
であり,
Df_a (x) = log_e(a) a^x
となる.
この定数 e をネイピアの数と呼ぶ.
D( f_e(x) ) = e^x >0
より, e^x は x について真に増加,
したがって, e > 1 である.
特に, e を底とする対数を自然対数と呼び,
log_e (x) = log (x)
と略記する.
ここまでくれば対数関数の微分法は簡単で,
e^( x + h ) - e(x) / h
において,
x = log(y), x + h = log( y + k ) とおくと,
e^( x + h ) - e(x) / h
= ( (y + k) - y ) / ( log ( y + k ) - log (y) )
= k / ( log ( y + k ) - log (y) )
となる.
k → 0, (k ≠ 0) とすれば,
h → 0, (h ≠ 0) なので,
log (y) は任意の y > 0 に対して微分可能で,
その y > 0 における微分係数 D log (y) は,
y = e^x = 1 / (D log (y)),
すなわち
D log (y) = 1/y for y > 0
が得られる.
底 a>0, (a ≠ 1) の対数に関しては,
log_a (x) = log (x) / log (a)
より, その微分係数 D log (a) については,
D log_a (x) = 1 / ( x log(a) ) for x > 0
を得る.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
