kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

数学の概念の『存在』の意味.

今回の数学エッセーは, 純粋数学の技術的内容についてではなく, 

 

数学専門外の方や, 一般の方向けに,

 

『数学の概念の存在とは何か』

 

と言うことを解説します.

 

 

 

 

これには明白な答えがあって,

 

数学的な概念が『存在』する, と言った場合の意味は, 大雑把に言うと,

 

『数学的な文章で, 矛盾なく記述できる.』

 

と言う意味です.

 

 

 

ここで, 数理論理学の立場では, 数学的な文章 = 論理式で, 

 

『矛盾なく記述できる』の意味は, 

 

ここでは, 

 

[1] (形式的体系から) 証明可能

 

の意味に捉えてください.

 

(矛盾がないと言う言葉の意味と, 証明可能と言う言葉の意味は, 厳密には異なりますが,

 

一般の方向けに, 敢えて, 厳密さを犠牲にしています.)

 

 

 

 

例えば, 形式的体系 ZF では, 

 

自然数の全体 N は, 有限順序数の全体として『記述』され,

 

整数の全体 Z は可換半群 N の対称化として『記述』され,

 

有理数の全体 Q は環 Z の乗法に関する対称化に標準的な加法構造を与えた体として『記述』され,

 

実数の全体 R は自然位相を備えた Q の完備化として『記述』され,

 

複素数の全体 C は 不定元 x を持つ多項式環 R[x] の, 主イデアル (x^2 + 1) による

 

商体 R[x] / (x^2 + 1)として『記述』され, 虚数単位 i は x の R[x] / (x^2 + 1) に於ける

 

標準像として『記述』されます.

 

 

 

以上の『記述』に矛盾がないことは, ZF 内部で, 全て確認されています.

 

(ZF そのものの無矛盾性は仮定します.)

 

 

 

 

このことから, 数学における『存在』は, 物理的な意味での『実在』とは異なります.

 

端的に言うと, 実際に触ったり持ち上げたりできる, と言う意味での『存在』ではありません.

 

あくまで,

 

『数学的文章による, 矛盾なき記述』

 

が基準となります.

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi