Q を有理数体, Z を整数環とし, Q, Z の加法として, それぞれ, 有理数体から導入された加法, 整数環から導入された加法を考える. 商加法群 Q/Z の有限部分群を決定しよう. 次の定理が成り立つ:
定理: n を 1 以上の整数, A/Z を Q/Z の位数 n の部分群とする. ここに, A ⊇ Z で, A は Q の加法部分群. この時, A = n^{-1} Z となる.
証明: p : Q → Q/Z を標準射影とする. 任意の x ∈ A に対し, nx ∈ Z だから, x ∈ n^{-1} Z となる. そこで, A ⊆ n^{-1} Z である. 商加群 A/Z, (n^{-1} Z)/Z はどちらも位数が n で,
A/Z ⊆ (n^{-1} Z)/Z
であるから, A/Z = (n^{-1} Z)/Z となる. よって,
A = p^{-1}(A/Z) = p^{-1}((n^{-1}Z)/Z) = n^{-1} Z
を得る.
証明終わり.
系 n を 1 以上の整数, A/Z を Q/Z の位数 n の部分群とすると, (Q/Z)/(A/Z) は Q/Z に加法群として同型である.
文責: Dr. 加藤木 一好
