今話題の CHAT GPT に、次の質問をしてみました:
Q: 局所コンパクトハウスドルフ実位相線型空間は必ず有限次元ですか？
CHAT GPT の答え: 局所コンパクトハウスドルフ実位相線型空間が有限次元であるとは限りません。実際、無限次元の局所コンパクトハウスドルフ実位相線型空間の例としては、無限次元ヒルベルト空間やフレシェ空間があります。これらの空間は、適切な位相構造を与えることで局所コンパクトハウスドルフ位相空間となります。したがって、局所コンパクトハウスドルフ実位相線型空間が有限次元であるという条件は、必ずしも成立しないことに注意する必要があります。
ダメですね、全く。
実は、局所コンパクトハウスドルフ実位相線型空間は、必ず有限次元になることが証明されています。
