微分可能関数の不連続点について

今回、タイトルは何やら大袈裟ですが、

某巨大掲示板にあった以下の疑問に、ここでお答えします。

内容は, 大学 1年レベルの数学です.

f が R の開区間 I で微分可能な実数値関数で,

-1∈I, かつ

(x+1)f ' (x) = 2(x+1)       ∀x∈I

が成り立っているとき、

f ' (x) = 2         ∀x∈I

として良いか?

答えは, 良い, すなわち, f ' (-1) = 2

というふうになります.

どうしてかというと, x≠-1 のときは, 明らかに,

f ' (x) = 2

が成り立ちます.

f は仮定より x = -1 で微分可能で,

もし, f ' (-1) ≠ 2 とすると,

f ' に対して中間値の定理が使えて,

-1 に十分近い点 a が存在して,

f ' (a)  = (f ' (-1) + 2)/2

となり, 矛盾するからです.

f ' には連続性の仮定を置いていませんが,

この場合は連続になります.

重要な点は, 実数値微分可能関数の導関数には,

中間値の定理が使えるということです.

特に, 実数値微分可能関数の導関数には,

「ギャップ」のような不連続点は存在しないことがわかります.

(文献 [2] で言うところの, 第一種不連続点.)

参考文献

[1] 高木貞治 「解析概論」p.51 定理 24

[2] 杉浦光夫「解析入門 I」 p.98 定理 2.8

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi