今回、次のことを証明します
定理 1
円周 S^1 から数直線 R への 1-1 連続写像は存在しない。
言い換えれば、S^1 を R へ、連続的に埋め込むことはできない。
証明
仮に、f : S^1 → R を、1-1 連続写像とする。 S^1 は連結空間で、
連結空間の連続写像による像は再び連結になるから、
f(S^1) は連結である。
ここに、R の連結集合は、区間に限られるから、
f(S^1) = [a, b]
なる実数 a, b ∈ R, a<b が存在する。
(f(S^1) が閉区間となるのは、それがコンパクトだから。)
今、f の制限
f : S^1 → [a, b]
は、コンパクト空間の間の同相写像になる。
しかし、[a, b] は可縮であり、S^1 は可縮ではないから、
これは矛盾である。
証明終わり。
定理 1は、以下のように一般化されます:
定理 2
n>1 を自然数とすると、n 次元球面 S^n から R^n への
1-1 連続写像は存在しない。
言い換えれば、S^n を R^n へ、連続的に埋め込むことはできない。
証明:
仮に、f : S^n → R^n を 1-1 連続写像するとする。
すると、f は S^n から R^n のコンパクト集合 K 上への位相同型となる。
然るに、領域不変の原理より、K = f (S^n) は R^n の開集合となる。
よって、K は R^n で開集合かつ閉集合。
然るに、R^n は連結だから、K = R^n.
よって、
f : S^n → R^n
は位相同型。
ここで、S^n はコンパクトで R^n はコンパクトでないから、矛盾。
証明終わり。
以上の定理の系して、次のことがわかります。
系: n>0 を自然数, f : S^n → S^n を 1-1 連続写像とすると、
f は全射である.
証明: S^n を R^n の一点コンパクト化とみなし、
f の制限
f : S^n → R^n
が 1-1 連続写像として定義されるので、
これは矛盾である。
証明終わり。
この系より、f : S^n → S^n が 1-1 連続写像の時は、
f は位相同型になるので、deg(f) = ±1 となる。
また、定理 2 の論証をそのまま使えば、
任意の n 次元コンパクト位相多様体から R^n への
1-1 連続写像は存在しないことが、証明できる。
（位相多様体の場合は、各連結成分について、
上記の論証を適用すれば良い。）
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
