今回の数学エッセーでは, 関数のグラフの連結性と
関数の連続性についての関係を話題にします.
初等的な, 軽い話題ですが, 某掲示板で,
関数の連続性を, そのグラフの連結性と混同しているかのような
記述を見かけましたので, 一つ, 注意を喚起しておきます.
次の命題が成り立ちます
命題:
a, b ∈ R を a<b とする.
f : [a, b] → R を連続関数とすると, f のグラフ
G = {(x, f(x)) | x ∈ [a, b] }
は [a, b] × R の連結部分集合である.
証明. 関数 g : [a, b] → [a, b] × R ,
g(x) = (x, f(x)) は連続で, 区間 [a, b] は連結であるから,
g による [a, b] の像 G は連結である.
しかし, 逆は成り立ちません.
次の命題が成り立ちます.
命題 2.
f: [0, 1] → R を,
f(x) = sin (1/x) for 0<x≦1,
f(0) = 0
で定義すると, f のグラフ G = {(x, f(x)) | x ∈ [0, 1] }
は [0, 1] × R の連結部分集合であるが,
f は連続ではない.
証明. f が [0, 1] の点 0 において連続でないのは明らか.
しかし, f は ]0, 1] 上では連続だから,
G' = { (x, f(x)) | x ∈ ]0, 1] } は連結である.
そこで, G は G' の [0, 1] × R における閉包 F
に含まれるので, G は連結となる.
実際, G が連結でないと仮定すると,
[0, 1] × R の二つの開集合 U, V が存在し,
U ∩ G と V ∩ G はともに空ではなく,
(U ∩ G) ∪ (V ∩ G) = G となる.
そこで, G' は G で稠密だから,
U ∩ G' と V ∩ G' はともに空ではなく,
(U ∩ G') ∪ (V ∩ G') = G' となるが,
これは, G' の連結性に反する.
以上です. つまり, 連続関数のグラフは連結ですが,
のグラフ G = { (x, f(x)) | x ∈ X }
が X × Y の連結部分集合であっても,
f は X 上いたるところ連続とは限りません.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
