今回, ある掲示板で見かけた, 次の問題について論じます.
f : R → R を,
f(x) = 1 ・・・ x が有理数の時.
f(x) = 0 ・・・ x が無理数の時.
で定義する時,
g に関する微分方程式
Dg(x) = f(x)
を解け.
答え
解なし.
なぜかと言うと, 以下の定理が成り立つからです:
Baire の定理
(h_n) を位相空間 X 上で定義された実数値連続関数の列とし,
h_n は h : X → R に X 上, 単純収束するとする.
このとき, X の点 x で x において h が連続にならないもの全体
は, X の第一類集合である.
証明は例えば,
Kosaku Yosida
Functional Analysis pp.12-13 に載っています.
すると, もし, Dg = f なる 実数値可微分関数 g が存在するならば,
f(x) = Dg(x) = lim_{n → ∞}n(g(x+(1/n)) - g(x))
であるから, f の不連続点全体は, R に於いて第一類集合である.
一方, R はベール空間であるから, f の連続点全体は,
R に於いて第二類集合でなくてはならない.
従って, f は少なくとも連続点を一つは持つわけだから,
f が R 上至る所不連続なことと合わせて,
矛盾する.
g の非存在は, 次のようにしてもわかる:
Dg = f なる g : R → R が存在するならば,
f(0) = 1, f(√2) = 0 より,
導関数に関する中間値の定理より,
0 < x < √2 なる実数 x で,
f(x) = 1/2
なるものが存在する.
これは矛盾.
導関数に関する中間値の定理は,
高木貞治, 解析概論に載っている.
注意として, (導関数の連続点がどのように分布していようが, )
普通の微分で考えて, 導関数がきっかり 0 と 1 だけの値をとるような,
実変数実数値可微分関数は存在しないことを挙げておく.
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
