kazz の数学旅行記

数学の話題を中心に, 日々の知的活動の旅路を紹介します.

実対称行列の平方根

今回の数学エッセーでは、Yahoo 知恵袋の数学質問コーナーで見かけた、

 

以下の問題について、論じます。

 

(Yahoo ブログから、引っ越してきています。)

 

問題: A を実対称行列とするとき, B^2 = A となるような

 

実対称行列 B が存在するための必要十分条件を挙げよ.

 

また, そのとき, B^2 = A なるような実対称行列 B は,

 

いくつあるか?

 

 

 

 

 

 

 

以下の定理を証明します:

 

定理 1

 

A を n 次実対称行列 とするとき, 実対称行列 B が存在し, 

 

B^2 = A なるための必要十分条件は,

 

A の固有値が全て 非負であることが必要十分である.

 

また, このとき, B^2 = A なる実対称行列 B の個数は,

 

A の正の固有値で重複度が ≧ 2 のものがあれば, それは連続濃度であり,

 

A の正の固有値の重複度が全て 1 の時は, 

 

A の正の固有値の個数を m とする時, 2^m 個である. 

 

 

 

 

 

 

証明:

 

まず, 必要性を示す. A を n 次正方行列とする.

 

A = B^2 の時, 明らかに, 

 

R^n のある正規直交基底 ( u_1, ... , u_n ) に関する 

 

A, B の表現行列が, 対角行列になるようにできる.

 

すなわち, n 次直交行列 U が存在し,

 

U^{-1} A U と U^{-1} B U が対角行列となる.

 

この時, 

 

( U^{-1} B U )^2 = U^{-1} A U

 

で, A の固有値は B の固有値の 2乗となる.

 

従って, A の固有値は, 全て非負である.

 

逆に, A の固有値 a_1, ... , a_n が全て非負の時,

 

直交行列 U を適当に選び,

 

U^{-1} A U が, a_i ≧ 0 を i 番目の対角成分に持つ

 

対角行列になるようにできる.

 

そこで, b_i = √a_i, c_i ∈ {+1, -1}

 

とし,

 

c_i × b_i

 

を i 番目の対角成分に持つ対角行列を

 

D とすると,

 

B = U D U^{-1}

 

は, A = B^2 を満たす実対称行列で,

 

このような B は, A の正の固有値の重複度の和を 

 

m とする時, 「本質的に異なる」ものが

 

少なくとも 2^m 個あることがわかった.

 

定理の最後の主張は, B の構成と同時対角化の定理,

 

及び, A の正の固有値の各固有空間が R 上 1次元なることより,

 

直ちにわかる.

 

 

 

 

 

 

さて,  A の正の固有値で重複度 ≧ 2 のものが存在する場合,

 

B^2 = A なる実対称行列 B が, 連続濃度だけ存在することを示そう.

 

A の相異なる固有値に関する固有空間は互いに直交するので, 

 

n = 2 と仮定して, 一般性を失わない.

 

A の (i, j)-成分を a(i, j) と書くことにして,

 

A=

 

[ a(1, 1), a(1, 2) ]

[ a(2, 1), a(2, 2) ]

 

と書くことにする.

 

A = 

 

[ a, 0 ]

[ 0, a ]

 

で, a>0 と仮定して一般性を失わない.

 

0≦x<π として,

 

P(x)=

 

[ cos x, -sin x ]

[ sin x, cos x ]

 

を考えると,

 

( P(x) )^{-1}=

 

[ cos x, sin x ]

[ -sin x, cos x ]

 

となる.

 

B(x) = ( P(x) )^{-1} C P(x),

 

C=

 

[ √a, 0 ]

[ 0, -√a ]

 

として B(x) を計算すると,

 

B(x)=

 

[ √a cos (2x), - √a sin (2x) ]

[ - √a sin (2x), - √a cos (2x) ]

 

となるので B(x) は実対称行列で,

 

0 ≦ x < y < π のとき,

 

B(x) ≠ B(y)

 

であり, なおかつ,

 

( B(x) )^2 = A

 

となる.

 

よって, B^2 = A なる実対称行列 B は,

 

連続濃度だけ存在する.

 

 

 

 

 

 

 

最後に, 以下の問題を提起しておく:

 

B^2 = A なる実対称行列 B をどのようにして分類するか?

 

一般に, 自然数 n と 実対称行列 A に対し, 

 

B^n = A なる実対称行列 B をどのように分類するか?

 

 

 

 

 

文責: Dr. Kazuyoshi Katogi