Part 1 に引き続いて、 Part 2 では、群の準同型について論じます。
群や部分群、正規部分群などの定義については、
良く知られているので、既知とします。
また、群の算法は、乗法的に書くことにします。
定義 1
G を群、Ωを集合で、Ωの元が G に作用しているとき、
つまり、写像 Δ : Ω×G → G が与えられ、
任意の (a, x)∈Ω×G に対して Δ(a, x) を x^a と書くとき、
任意の a∈Ω, x, y ∈G に対して常に
(xy)^a = (x^a)(y^a)
が成り立つとき、G を作用素を持つ群と呼び、
Ωを G の作用域という。
作用素を持つ群は、作用域Ωを持つ集合 (G, Ω, Δ) の
特別な場合である。
定義により容易に確認できるように、
e を G の単位元とするとき、任意の a∈Ω に対し、
e^a = e
となる。
また、任意の x∈G と任意の a∈Ω に対し、
(x^{-1})^a = (x^a)^{-1}
が成り立つ。
定義 2
G, H を 作用素を持つ群で、Ωをそれらの共通の作用域、
f : G → H を写像とする。
f が以下の条件を満たすとき、 f を作用素を持つ群の準同型と呼ぶ。
[2.1] 任意の x, y ∈G に対し、
f(xy) = f(x)f(y)
[2.2] 任意の x∈G, a∈Ω に対し、
f(x^a) = f(x)^a
特別な場合である。
定義 3
作用素を持つ群 G の部分群 H は、G の作用域 Ωの任意の元 a と
任意の x∈H に対し、x^a ∈H なるとき、安定部分群と呼ぶ。
更に、H が正規部分群であれば、H を安定正規部分群と呼ぶ。
以上の準備の下に、以下の定理を証明できる。
定理 1
G を作用素を持つ群、Ωを G の作用域、R を G の内算法と
Ω による外算法の両方に関する合同関係とする。
この時、G の安定正規部分群 H が存在し、
任意の x, y ∈ G に対し、
x≡y mod. R ⇔ x≡y mod. H (⇔ x^{-1}y∈H ⇔ yx^{-1}∈H)
となる。
特に、G 上の同値関係 による商に、G の作用素を持つ群の構造の
商構造が入るための必要十分条件は、
その同値関係が、G のある安定正規部分群 H による合同関係であり、
その商が H による G の作用素を持った商群 G/H であることである。
それは、こう言っても同じである： G の同値関係を S,
π : G → G/S を標準射影とするとき、
G/S に作用素を持つ群の構造が入り、（作用域はΩ）
なおかつ πが作用素を持つ群の準同型写像になるための必要十分条件は、
S が G のある安定正規部分群 H による合同関係であることである。
特にこの時、H = { x∈ G | x≡e mod. S }
となる。ここに、e は G の単位元。
なお、この時、G/S (= G/H) の群算法及び Ω による外算法は、以下のように定まる:
x, y ∈ G, a∈Ω に対し、
(xH)・(yH) = xyH
(xH)^a = (x^a)H
証明
e を G の単位元とし、H = { x∈ G | x≡e mod R} とおく。
然らば、x, y ∈ H, a∈Ω, z∈G に対し、
x ≡ e mod R かつ y≡e mod R
が成り立つので、R が合同関係であることより、
xy ≡ e mod R
e = x^{-1}x ≡ x^{-1}e = x^{-1} mod R
zxz^{-1} ≡ zez^{-1} = e mod R
x^a ≡ e^a = e mod R
が成り立つ。
つまり、e, xy, x^{-1}, zxz^{-1}, x^a ∈ H
が成り立ち、H は G の安定正規部分群である。
逆に、H が G の安定正規部分群の時、
G 上の同値関係
x≡y mod H
が、G の内算法とΩによる外算法に関して合同関係であることを見る。
x, y, z ∈G, a∈Ω に対し、
x≡y mod H のとき、
x^{-1}y ∈ H.
よって、
(zx)^{-1}(zy) = x^{-1}y ∈ H
となり、
zx ≡ zy mod H
となる。
同様に、
yx^{-1} mod H
より、
xz ≡ yz mod H
となる。
また、
(x^a){-1}(y^a) = (x^{-1}y)^a ∈ H
より、
x^a ≡ y^a mod H
となる。
よって、G 上の同値関係
x≡y mod H
は、G の内算法とΩによる外算法に関して、
合同関係である。
証明終わり。
系 1.1
E を単位元を持つ環 A 上の加群、F を E の部分 A 加群とすると、
E/F には、次の方法で、A 加群の構造が入る：
x, y ∈ E, a∈A に対し、
(x+F) + (y + F) = (x+y) + F
a・(x+F) = (ax) + F
E/F のこの A 加群構造は、E を作用素を持つ加法群 (作用域は A)
とみなした時の、E の安定正規部分群 F による商構造である。
次の定理も、今までと同じようにして、示せる。
定理 2
X を群 G が左から作用している等質空間、
x∈X を任意の取り、固定する。
x の G における固定部分群 H = { g∈G | gx = x } は G の部分群で、
gH に gx を対応させる写像 Φ は、
G の H を法とする左剰余類の全体G/H から
X 上への、G の作用を保存する双射である。
文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
